Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

160 CAPITOLO 7. LINGUAGGI PREDICATIVI
(E∀)
(I∃)
(E∃)
(I∀)
∀xB[x]
B[x/t]
B[x/t]
∃xB[x]
Se da B[x/c] si deduce A, dove c è un nuovo simbolo che non
occorre nella parte precedente della deduzione né in A, allora
A si deduce da ∃xB[x].
Se B[x] è dedotto da assunzioni nelle quali non occorre x priva
della specificazione quantitativa data da un quantificatore ∀x
o ∃x, allora si può dedurre ∀xB[x].
Prima di discutere (E∃) vediamo un esempio di esemplificazione esistenziale:
dimostriamo che se un numero è divisibile per 4 allora è divisibile per
2. In questo caso l’elemento sconosciuto apparentemente si mantiene fino
alla fine, nella conclusione, ed allora deve essere eliminato da questa con
un’applicazione della generalizzazione esistenziale.
Da
∃y(x = 4 · y)
si passa a
x =4 · c
x =(2 · 2) · c
x =2 · (2 · c)
Di qui si vede che x è divisibile per 2, ma non si può terminare con questa
formula. Per generalizzazione esistenziale invece, considerata la formula x =
2 · (2 · c) come formula del tipo A[y/2 · c], con A[y] uguale a x = 2 · y, si può
allora dedurre
∃y(x = 2 · y),
per concludere
e quindi
∃y(x = 4 · y) → ∃y(x = 2 · y)
∀x(∃y(x = 4 · y) → ∃y(x = 2 · y)).
Il problema logico della regola di esemplificazione esistenziale consiste nel
fatto che A[x/c] non è conseguenza logica di ∃xA[x], e quindi nella successione