Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

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60 CAPITOLO 2. LOGICA PROPOSIZIONALE A → A legge dell’identità A ↔ ¬¬A legge della doppia negazione A ∧ B ↔ B ∧ A commutatività di ∧ (A ∧ B) ∧ C ↔ A ∧ (B ∧ C) associatività di ∧ A ∨ B ↔ B ∨ A commutatività di ∨ (A ∨ B) ∨ C ↔ A ∨ (B ∨ C) associatività di ∨ A ∧ A ↔ A idempotenza di ∧ A ∨ A ↔ A idempotenza di ∨ A ∧ B → A eliminazione di ∧ A → A ∨ B introduzione di ∨ A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) distributività A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) distributività A ∧ (A ∨ B) ↔ A legge di assorbimento A ∨ (A ∧ B) ↔ A legge di assorbimento ¬(A ∧ B) ↔ (¬A ∨ ¬B) legge di De Morgan ¬(A ∨ B) ↔ (¬A ∧ ¬B) legge di De Morgan ¬A ∨ A legge del terzo escluso ¬(A ∧ ¬A) legge di non contraddizione A → B ↔ ¬B → ¬A legge di contrapposizione A ∧ ¬A → B Lewis, o ex falso quodlibet A → (B → A) affermazione del conseguente ¬A → (A → B) negazione dell’antecedente (A → B ∧ ¬B) → ¬A legge di riduzione all’assurdo (A → ¬A) → ¬A riduzione all’assurdo debole (¬A → A) → A consequentia mirabilis ((A → B) → A) → A legge di Peirce (A → B) ∨ (B → A) legge di Dummett A → ((A → B) → B) modus ponens A → (B → C) ↔ B → (A → C) scambio antecedenti (A → C) ∧ (B → C) ↔ A ∨ B → C distinzione di casi (A → B) ∧ (¬A → B) → B distinzione di casi (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) distributività di → (A → B) ∧ (B → C) → (A → C) transitività di → A → (B → C) ↔ (A ∧ B) → C importazione/esportazione delle premesse Tabella 2.1: Leggi logiche notevoli 1
2.3. CALCOLO DELLA DEDUZIONE NATURALE 61 2.3 Calcolo della deduzione naturale Alcune leggi sono spesso presentate in forma di regole di inferenza; ad esempio il modus ponens, invece che da |= A → ((A → B) → B), da A A → B B l’eliminazione e l’introduzione della congiunzione, l’introduzione della disgiunzione, il sillogismo disgiuntivo (come eliminazione della disgiunzione) e altre le abbiamo già viste nel capitolo 1. La regola di introduzione della negazione è giustificata dalla legge di riduzione all’assurdo. Quella di eliminazione della negazione è giustificata dal fatto che A1, . . . , An |= B equivale all’essere {A1, . . . , An, ¬B} insoddisfacibile. Infatti {A1, . . . , An, ¬B} insoddisfacibile è equivalente a A1, . . . , An, ¬B |= C ∧ ¬C. Si ritrovano così le regole della deduzione naturale. Le regole e la loro rappresentazione grafica si interpretano semanticamente nel seguente modo. Le leggi corrispondenti permettono di asserire che se sono vere le proposizioni sopra la riga, o premesse della regola, allora è vera anche la proposizione sotto la riga, o conclusione. Regole d’inferenza di questo genere si dicono corrette se le premesse implicano logicamente la conclusione — quindi le regole sopra elencate sono corrette. Si chiamano in generale calcoli logici i metodi per rispondere ai quesiti logici sulla verità, l’insoddisfacibilità, la conseguenza, metodi che sono procedure guidate dalla sintassi, e che si articolano in applicazioni iterate di regole che producono strutture come sequenze finite o alberi di proposizioni, che si chiamano deduzioni, o derivazioni, o dimostrazioni. Il calcolo della deduzione naturale presentato nella sezione 1.2 (quello classico) è un tale calcolo, ideato per provare la sussistenza della validità logica. Quando si dà un metodo sintattico per rispondere a quesiti di natura semantica (o un calcolo per risolvere un problema), si pone la questione, e la richiesta, della correttezza e completezza del metodo. Correttezza significa che le risposte che dà il metodo sono giuste, completezza significa che quando la risposta c’è il metodo la dà, quella giusta. Se le regole del calcolo della deduzione naturale sono, come sono, corrette, è ovvio che: Teorema 2.3.1 (Correttezza). Se A1, . . . , An ⊢ B, allora A1, . . . , An |= B. ;
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