Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

Capitolo 7
Linguaggi predicativi
7.1 Sintassi
Finora abbiamo considerato formule contenenti variabili solo nell’algebra degli
insiemi, e si trattava di formule prive di quantificatori 1 , usate per definire
i valori di operazioni su insiemi.
La logica proposizionale ha permesso di introdurre come in laboratorio,
su un toy model, alcuni concetti, come analisi sintattica, interpretazione,
modello, conseguenza logica, validità, e alcuni sistemi per svolgere deduzioni
e rispondere alle domande logiche.
Ora rivediamo gli stessi concetti in riferimento ai linguaggi predicativi,
che sono quelli che permettono di formalizzare tutto il discorso matematico,
e invero ogni discorso.
7.1.1 Alfabeto
L’alfabeto è stato già descritto praticamente nel capitolo 1. Useremo le
notazioni lì indicate. Oltre ai connettivi e alle parentesi, si devono avere
nell’alfabeto le variabili, con i due quantificatori, e simboli di predicato, di
funzione e dicostante.
L’unica precisazione da aggiungere, rispetto a quanto era prima lasciato
implicito, è che ogni simbolo di predicato ha associato un numero intero
n ≥ 1 che indica il numero di argomenti, o di posti (e se n > 1 il simbolo è
detto anche simbolo di relazione) e analogamente ogni simbolo di funzione ha
associato un numero n ≥ 1 che indica il numero di argomenti 2 . La proprietà
1 Salvo nel caso della definizione dell’unione e dell’intersezione generalizzate, in 4.1, dove
intervengono i quantificatori, ad esempio n
i=1 Ai = {x ∈ U | ∃i(1 ≤ i ≤ n ∧ x ∈ Ai}).
2 Nella scrittura non è necessario che n sia una parte del simbolo, come potrebbe essere
P n ; l’importante è che lo si dica o sia chiaro dal contesto.
139