Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

Capitolo 3
Insiemi e algebre di Boole
3.1 Insiemi
Esempi di frasi a cui si applicano utilmente le nozioni e le tecniche logiche
sono le formule matematiche; gli studenti sono abituati alle formule senza
quantificatori, anzi sono queste le uniche che (probabilmente hanno visto e
che) sono abituati a chiamare formule. In esse compaiono le variabili x, y,. . .
Sono le formule che abbiamo detto sono da evitare, per la loro ambiguità,
quando si deve formalizzare un discorso.
Di una formula come 1 < x < 3 non si può dire che è né vera né falsa, in
quanto non è precisato se la variabile debba essere intesa in senso universale
o particolare. Meglio, non la si può pensare come una frase che trasmette
un’informazione. Non la si riesce quasi neanche a leggere in italiano: “un
numero compreso tra 1 e 3”? “i numeri compresi tra 1 e 3”? ma manca il
verbo.
Di solito la si legge come “x è compreso tra 1 e 3”, cioè come una proposizione
che afferma qualcosa a proposito di x, dove x denota un elemento non
precisato dell’universo; questa lettura, con l’idea di un nome per un elemento
non precisato dell’universo, è fonte di equivoci difficilmente rimediabili sulla
natura delle variabili, una volta che si sia imposta.
Infatti, come leggere allora 3 < x < 1? Di fronte a questa si tende a dire
che non la si dovrebbe scrivere, perché “non esiste un numero maggiore di 3
e minore di 1”, ma allora si fa una affermazione sulla formula, si afferma che
dovrebbe essere scritta come ¬∃x(3 < x < 1). Non si può pretendere infatti
che 3 < x < 1 stia per ¬∃x(3 < x < 1), è solo una scrittura sbagliata.
Per interpretare 1 < x < 3 come una frase che trasmette un’informazione,
dobbiamo immaginare questo teatro: è come se fosse presente un numero
71