Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

14 CAPITOLO 1. LINGUAGGI
universale o particolare, in una frase, tutta la frase che contiene quelle occorrenze
della variabile va racchiusa tra parentesi (nell’esempio, tutta la frase
∃y(A(x, y)) → F (x) per quel che riguarda x, e A(x, y) per quel che riguarda
la y — cosa che è già stata fatta 7 ).
Quando si leggono frasi già formalizzate, i quantificatori ∀x e ∃x si leggono
usualmente sempre nello stesso modo: “per tutti gli x” (o “per ogni x”) e
“esiste un x tale che” (o “esistono x tali che”), anche quando non è la lettura
più elegante. Invece in italiano ci sono diversi modi di esprimersi.
Alcune espressioni della lingua naturale hanno tuttavia significati colloquiali
che non hanno interesse logico e che comunque non sono esprimibili
nel formalismo. Anzi bisogna fare attenzione a non lasciarsi influenzare. Ad
esempio “qualche” viene spesso usato per dire “pochi”, per indicare un certo
numero ma non grande, e spesso maggiore di uno, ché se è uno si dice “uno”.
Invece ∃x vuol sempre dire “esiste almeno un . . . ”, e possono essere uno,
dieci o centomila, o anche tutti.
Quando si usa “qualche”, talvolta in italiano si sottintende “non tutti” 8 ;
invece ∃x . . . è compatibile col fatto che tutti soddisfino la condizione; è solo
un’affermazione più debole: se si sa che tutti i gamberi sono rossi, si può
affermare ∃x(gambero(x) ∧ rosso(x)) come vero; naturalmente così non si
afferma che tutti i gamberi sono rossi (che sarebbe reso da ∀x(gambero(x) →
rosso(x))) ma che esiste un gambero rosso.
Le variabili svolgono il ruolo di “uno”, “una cosa”, “un numero” e simili;
di quale esattamente dipende dall’universo di discorso. Questo va precisato,
in vari modi. Spesso la scelta dei predicati e delle relazioni suggerisce implicitamente
di cosa si parla: se si usa una relazione A per “essere amico di . . . ”
è implicito che si parla di persone o animali. Allora ∀x(∃yA(x, y) → F (x))
si legge “ogni persona o animale che abbia . . . ”.
Tuttavia è difficile che il discorso entro il quale si inserisce ∀x(∃yA(x, y) →
F (x)) si limiti a persone o animali; nel prosieguo possono essere menzionate
anche cose o idee. Al di fuori della matematica, dove è di solito ben precisato, 9
l’universo di discorso è ricco e variegato. ∀x . . . si legge dunque “per ogni x
. . . ” dove x a priori può stare per gli elementi più disparati.
7 In realtà dopo A(x, y) la y non occorre più e non c’è bisogno delle parentesi per una
lettera corretta, come sarà spiegato in seguito: scriveremo anche ∀x(∃yA(x, y) → F (x)).
8 Da un compito in classe: “Se qualche triangolo isocele è equilatero, di conseguenza
qualche triangolo isocele non lo è”. La conclusione è vera, ma “di conseguenza” no, e
l’unico modo per immaginare come sia stata concepita è l’interpretazione di “qualche”
come “non tutti”.
9 Non sempre: s e si discute una equazione e non si precisa quale è il dominio numerico,
le risposte possono essere bene diverse.