Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

7.1. SINTASSI 141
Si può dimostrare che non esiste ambiguità nel ricostruire come è composto
il termine a partire da quali argomenti e quale simbolo funzionale, anche
senza parentesi (e tanto meno virgole).
Questo fatto mostra i vantaggi della notazione prefissa rispetto a quella
infissa nella manipolazione meccanica.
Lo stesso vale per la scrittura P (t1, . . . , tn), che useremo ma che corrisponde
alla parola P t1 . . . tn.
Quando si trattano argomenti matematici, si usano le convenzioni a cui si
è abituati, di scrivere i simboli delle operazioni usuali (che sono funzioni) in
mezzo ai termini, laddove la notazione funzionale preferisce mettere il simbolo
di funzione davanti; la stessa notazione infissa si adotta per le relazioni =, <
e ≤.
I termini chiusi sono i termini che non contengono variabili. I termini
sono sempre infiniti, ma anchei termini chiusi lo sono se oltre a una costante
c’è un simbolo funzionale.
Esempio 7.1.1. Supponiamo di avere una costante 0 e un simbolo funzionale
a un argomento, indicato con s. I termini possono essere enumerati in una
successione, ad esempio
0, s0, x, ss0, sx, y, sss0, ssx, sy, z, . . .
Il criterio che guida l’enumerazione è quello, dopo il primo passo iniziale
consistente nel porre 0 e s0, di introdurre una nuova variabile, aggiungere un
s ai termini precedenti, e ricominciare con una nuova variabile.
I termini chiusi sono invece
0, s0, ss0, sss0, . . .
Le versioni formali delle frasi saranno chiamate formule, in analogia alle
formule matematiche.
Le formule sono definite nel seguente modo:
- Se P è un predicato a n posti e t1, . . . , tn termini, (P (t1, . . . , tn)) è una
formula.
- Se A è una formula, anche (¬A) lo è.
- Se A e B sono formule e • un connettivo binario, anche (A • B) è una
formula.
- Se A è una formula, e x una variabile, anche (∀xA) e (∃xA) sono formule.