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166 CAPITOLO 8. CALCOLI LOGICI del ramo, e tali che B[x/ti] non occorre già nel ramo, si appendono alla foglia n + 1 nodi in serie, prima B[x/t1], . . . , B[x/tn] e poi ancora ∀xB, come nello schema [∀xB] . B[x/t1] . B[x/tn] ∀xB • Se A Se A è ¬∃xB, allora alla fine di ogni ramo non chiuso passante per A, per tutti i termini chiusi t1, . . . , tn che occorrono in qualche enunciato del ramo, e tali che B[x/ti] non occorre già nel ramo, si appendono alla foglia n + 1 nodi in serie ¬B[x/t1], . . . , ¬B[x/tn], e poi ancora ¬∃xB, come nello schema [¬∃xB] ¬B[x/t1] . ¬B[x/tn] ¬∃xB Se l’albero è inizializzato con un enunciato, tutti i nodi dell’albero sono etichettati con enunciati, di un linguaggio possibilmente arricchito con nuove
8.1. ALBERI DI REFUTAZIONE 167 costanti. Il ruolo dei letterali è ora svolto dagli enunciati atomici e dalle negazioni degli enunciati atomici. Il senso delle due ultime regole è il seguente; per la regola relativa al quantificatore universale (per la negazione dell’esistenziale valgono le stesse considerazioni) si vorrebbero sostituire a x in B tutti i termini chiusi; ma questi sono in generale infiniti, e neppure ben determinati, per il fatto che successive applicazioni delle altre regole ad altri nodi possono introdurre nuove costanti; allora si incominciano a sostituire i termini esplicitamente esistenti, ma si riscrive l’enunciato ∀xB in modo che quando eventualmente (se il ramo non si è nel frattempo chiuso) si torna a considerare l’enunciato, se nel frattempo si sono creati nuovi termini chiusi anche i nuovi vengano sostituiti. Se in una prima applicazione delle ultime due regole non esistono termini chiusi negli enunciati dell’albero, si introduce una nuova costante c e si sostituisce quella. Praticamente, non c’è bisogno di riscrivere ∀xB, basta non marcarlo come già considerato e ricordarsi di tornare periodicamente a visitarlo. E quando tutti gli altri enunciati siano stati considerati e non ci siano altri termini da sostituire, lo si marca definitivamente per terminare. Esempio 8.1.1. Un albero chiuso: ¬(∀x(P (x) → Q(x)) → (∀xP (x) → ∀xQ(x)))1 ¬P (c) chiuso ∀x(P (x) → Q(x))5 ¬(∀xP (x) → ∀xQ(x))2 ∀xP (x)4 ¬∀xQ(x)3 ¬Q(c) P (c) P (c) → Q(c) Q(c) chiuso
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ii INDICE 4.3 Forme normali congiun
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10 CAPITOLO 1. LINGUAGGI nella cong
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28 CAPITOLO 1. LINGUAGGI 2. Se piov
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32 CAPITOLO 1. LINGUAGGI Torniamo o
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36 CAPITOLO 1. LINGUAGGI 1.2.1 Eser
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38 CAPITOLO 1. LINGUAGGI è conferm
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42 CAPITOLO 2. LOGICA PROPOSIZIONAL
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72 CAPITOLO 3. INSIEMI E ALGEBRE DI
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