Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

90 CAPITOLO 3. INSIEMI E ALGEBRE DI BOOLE
2. con un minimo 0 e un massimo 1, e per ogni x un elemento −x tale che
sup{x, −x} = 1 e inf{x, −x} = 0, e
3. valgano le proprietà distributive.
L’algebra 2 è l’algebra il cui universo è {0, 1} con 0 < 1, rappresentata dal
diagramma
1
0
dove ↑ è < e in questo caso x + y = max{x, y} e x ◦ y = min{x, y}.
L’algebra 2 è l’algebra dei valori di verità. Le sue tre operazioni sono
quelle che intervengono come abbiamo visto nel calcolo dei valori di verità di
negazioni, disgiunzioni e congiunzioni.
Esistono altre algebre di Boole finite, come ad esempio l’algebra 4
1
a
b
0
dove a e b sono inconfrontabili rispetto a ≤; ≤ è proprio parziale.
Esercizio 3.2.5. Definire le operazioni in modo che questa struttura ordinata
diventi un’algebra di Boole.
Esercizio 3.2.6. Dimostrare che è l’algebra dei sottoinsiemi di un universo
con due elementi.
3.2.2 Algebra delle proposizioni
L’algebra delle proposizioni si ottiene nel seguente modo; già si sono dimostrate
(considerando anche gli esercizi) quasi tutte le leggi logiche che hanno
lo stesso nome degli assiomi delle algebre di Boole:
A ∧ B ↔ B ∧ A commutatività
A ∨ B ↔ B ∨ A commutatività
A ∧ (B ∧ C) ↔ (A ∧ B) ∧ C associatività
A ∨ (B ∨ C) ↔ (A ∨ B) ∨ C associatività
A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) distributività
A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) distributività.