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130 CAPITOLO 6. ALBERI DI REFUTAZIONE Esempio [¬((¬p ∨ q) ∧ p → q)]1 ↓ [(¬p ∨ q) ∧ p] 2 ↓ [¬q] 3 ↓ [¬p ∨ q] 4 ↓ p ↙ ↘ ¬p q . ¬((p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ ¬q)1 ↓ ¬(p ∧ q)3 ↓ ¬(¬p ∧ q)4 ↓ ¬¬q2 ↓ q ↙ ↘ ¬p ¬q ↙ ↘ chiuso ¬¬p ¬q chiuso dove il ramo di destra con foglia ¬q non è sviluppato con ¬q ↙ ↘ ¬¬p ¬q come dovrebbe essere per il lavoro su ¬(¬p ∧ q), perché il ramo è già chiuso; il ramo di sinistra non è prolungato con perché anch’esso chiuso. ¬¬p ↓ p
6.1. IL METODO 131 Avvertenza 6.1.1. Non si confondano gli alberi di refutazione con gli alberi sintattici. L’albero sintattico di una proposizione contiene solo le sottoproposizioni di quella data, l’albero di refutazione anche altre. Ad esempio p ∨ q → p ∧ q ↙↘ p ∨ q p ∧ q ↙↘ ↙↘ p q p q è l’albero sintattico di p ∨ q → p ∧ q. Il suo albero di refutazione è invece p ∨ q → p ∧ q ↙↘ ¬(p ∨ q) p ∧ q ↓ ↓ ¬p p ↓ ↓ ¬q q dove, oltre a una struttura diversa, compaiono proposizioni come ¬p, ¬q, ¬(p ∨ q). In alcune presentazioni gli alberi di refutazione sono alberi i cui nodi sono proposizioni etichettate con i simboli V ed F , per “vero” e “falso”. La corrispondenza con la presente versione si ottiene sostituendo V A con A e F A con ¬A, e viceversa. Ad esempio le due regole per la congiunzione diventano: (V ∧) (F ∧) Quando si lavora su V (A ∧ B) (al fondo di ogni ramo . . . ) si appendono in serie V A e V B. Quando si lavora su A F (A ∧ B) (al fondo di ogni ramo . . . ) si appende una diramazione con con F A e F B. 6.1.1 Correttezza e completezza Il primo problema con ogni algoritmo è quello della terminazione, in particolare per gli algoritmi di decisione; se l’algoritmo non si ferma sempre, con una risposta, dopo un numero finito di passi, non ci si può affidare ad esso per decidere le questioni che interessano (nel senso di lanciarlo e stare ad aspettare).
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ii INDICE 4.3 Forme normali congiun
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iv INDICE che punto questo sia poss
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8 CAPITOLO 1. LINGUAGGI deve valere
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10 CAPITOLO 1. LINGUAGGI nella cong
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12 CAPITOLO 1. LINGUAGGI iniziali d
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14 CAPITOLO 1. LINGUAGGI universale
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16 CAPITOLO 1. LINGUAGGI 1.1.6 Esem
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18 CAPITOLO 1. LINGUAGGI La precede
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20 CAPITOLO 1. LINGUAGGI frase è v
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22 CAPITOLO 1. LINGUAGGI Che i nume
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28 CAPITOLO 1. LINGUAGGI 2. Se piov
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30 CAPITOLO 1. LINGUAGGI quantifica
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36 CAPITOLO 1. LINGUAGGI 1.2.1 Eser
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38 CAPITOLO 1. LINGUAGGI è conferm
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42 CAPITOLO 2. LOGICA PROPOSIZIONAL
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72 CAPITOLO 3. INSIEMI E ALGEBRE DI
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