Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

3.2. ALGEBRE DI BOOLE 83
Con leggi dell’uguaglianza si intendono le proprietà riflessiva, simmetrica
e transitiva di =, rappresentate dalle formule
x = x
x = y → y = x
x = y ∧ y = z → x = z,
e le proprietà di sostituzione, che sono di due tipi:
t1 = t2 → t[t1] = t[t2],
dove t1 ed t2 sono termini del linguaggio in uso, e t[x] un altro termine
contenente una variabile x (t[ti] si ottiene da t[x] sostituendo ti a x), e
t1 = t2 → (A[t1] ↔ A[t2]),
dove A[x] sta per una formula qualunque.
Queste leggi sono tacitamente usate nei passaggi di trasformazione di
formule algebriche, o di proposizioni di qualunque linguaggio che contenga
l’uguaglianza. I passaggi da un’uguaglianza ad un’altra presuppongono il
modus ponens: da t1 = t2 a t[t1] = t[t2] grazie a t1 = t2 → t[t1] = t[t2] e da
t1 = t2 e A[t1] a A[t2] grazie a t1 = t2 → (A[t1] ↔ A[t2]).
Nel considerare le leggi dell’algebra degli insiemi scritte nella forma di
uguaglianze, e la loro derivazione algebrica da altre uguaglianze si esegue di
fatto un cambiamento di linguaggio e di logica: si ha ora solo la relazione
= e simboli di operazione con le quali si costruiscono termini a partire dai
simboli X, Y, . . . che ora sono intesi come variabili (⊆ può essere introdotta
per definizione); le formula sono quindi solo formule atomiche. X, Y, . . . si
possono legittimamente considerare variabili in questo linguaggio, perché non
compaiono più le x, y, . . ., e le variabili variano sull’insieme dei sottoinsiemi
di U.
Esempi
1. La 15 segue dalla 14 e dalla 11 con i passaggi
∼ ∅ = U
∼(∼ ∅) = ∼ U
∅ = ∼ U
∼ U = ∅.