Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

16 CAPITOLO 1. LINGUAGGI
1.1.6 Esempi:
dal linguaggio naturale. . .
Esempio 1.1.9. “Maria ama il padre di Giovanni” è formalizzata da
A(m, f(g)),
dove m e g sono costanti, m per “Maria” e g per “Giovanni”, ed f un simbolo
funzionale per “il padre di . . . ”.
Esempio 1.1.10. Per formalizzare “Maria ama il figlio di Giovanni” non si può
usare un simbolo f per “il figlio di”, perchè “figlio di” non è una funzione
univoca: a una persona possono corrispondere diversi figli, o nessuno. Allora
“Maria ama il figlio di Giovanni” si formalizza come sotto “Maria ama un
figlio di Giovanni” e a parte si afferma che Giovanni ha un solo figlio (vedremo
come).
Esempio 1.1.11. “Maria ama un figlio di Giovanni” è formalizzata da
letta
∃x(A(m, x) ∧ F (x, g)),
esiste un x tale che Maria ama x e x è figlio di Giovanni,
dove F è un simbolo relazionale a due posti, e F (x, y) sta per “x è figlio di
y”.
Si potrebbe anche dire “Maria ama uno, che è figlio di Giovanni” o “Maria
ama un tizio che è figlio di Giovanni”.
In questo caso “figlio di Giovanni” ha la funzione di nome comune, come
“Piaggio 50” in “Giovanni possiede un Piaggio 50”, e infatti si formalizza
nello stesso modo.
Esempio 1.1.12. “Maria ama i figli di Giovanni”, che significa che Maria ama
tutti i figli di Giovanni, si formalizza con
∀x(F (x, g) → A(m, x))
e non con ∀x(A(m, x) ∧ F (x, g)); questa significa che tutti sono figli di Giovanni,
e che Maria li ama tutti; il che implica che Giovanni sia Dio, e forse
Maria la Madonna.
Per la formalizzazione corretta, può essere utile vedere nella frase un caso
di quantificatore ristretto, ai figli di Giovanni, leggendola “Tutti i figli di
Giovanni, Maria li ama” o al passivo: “Tutti i figli di Giovanni sono amati
da Maria”.