Logica Matematica Corso di Laurea in Informatica ... - Mbox.dmi.unict.it

3.2. ALGEBRE DI BOOLE 91
Le equivalenze non sono uguaglianze ma si possono trasformare in vere
uguaglianze tra (nuovi) oggetti con la seguente costruzione (che è frequente
in matematica 10 e si chiama “passaggio al quoziente rispetto a una relazione
di equivalenza”).
La relazione ≡ è una relazione di equivalenza, vale a dire soddisfa le
proprietà:
A ≡ A riflessiva
se A ≡ B allora B ≡ A simmetrica
se A ≡ B e B ≡ C allora A ≡ C transitiva.
Si definisce allora per ogni A la classe di equivalenza di A come
e si ha che
[A] = {B|A ≡ B}
[A] = [B] se e solo se A ≡ B
(esercizio).
Date due proposizioni A e B, esse o sono logicamente equivalenti o no.
Nel primo caso, come si è detto, [A] = [B]. Nel secondo caso le due classi [A]
e [B] sono disgiunte: se infatti ci fosse un elemento C in comune, vorrebbe
dire che A ≡ C e che B ≡ C, ma allora per la transitività si avrebbe A ≡ B
e [A] = [B].
A si dice un rappresentante della classe [A]; ogni classe ha più rappresentanti,
anzi infiniti. Se B ∈ [A] allora B ≡ A quindi [A] = [B] e B è un altro
rappresentante di [A]. In particolare ad esempio [A] = [A∧A] = [A∧A∧A] . . .
Si possono definire tra queste classi le seguenti operazioni:
−[A] = [¬A]
[A] ◦ [B] = [A ∧ B]
[A] + [B] = [A ∨ B].
Si vede il vantaggio di aver formulato gli assiomi delle algebre di Boole in
un linguaggio algebrico astratto, perché ora si possono usare questi simboli.
Non si potrebbe usare ¬ per il complemento, perché ¬ ha già un significato,
per il quale ¬[A] non ha senso, né ∼, perché ∼[A] = [¬A]. Lo stesso per +
e ◦.
Le definizioni sono ben poste, in questo senso. Si tratta di operazioni sulle
classi, ma la loro definizione fa riferimento ad un particolare rappresentante
10 Ad esempio in geometria la direzione di una retta è, nella terminologia introdotta qui
di seguito, la classe di equivalenza delle rette parallele a quella data.