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82 CAPITOLO 3. INSIEMI E ALGEBRE DI BOOLE
Più in generale ancora, si definisce l’unione
Ai o {Ai | i ∈ I}
i∈I
per una famiglia di insiemi indiciata 7 da I ponendo che
x ∈
Ai se e solo se esiste un i ∈ I per cui x ∈ Ai,
i∈I
e analogamente per l’intersezione. La definizione come si vede è la stessa,
con “i ∈ I al posto di “1 ≤ i ≤ n.
Esercizi
Esercizio 3.1.2. Completare la dimostrazione di tutte le leggi elencate.
Esercizio 3.1.3. Dimostrare che X△Y = ∅ se e solo se X = Y . E se
X△Y = U?
Esercizio 3.1.4. Se R e S sono due simboli di predicato, la loro interpretazione
in un universo U si indica con R U = {x ∈ U | R(x) ∈ U} e
S U = {x ∈ U | S(x) ∈ U}.
Se R U S U quale è l’insieme definito in U da
e quale quello definito da
3.2 Algebre di Boole
R(x) ∨ S(x) → ∀xR(x)
R(x) ∨ S(x) → ∃xS(x)?
Dall’esempio svolto a pagina 79, relativo alla 5, si vede anche che in dimostrazioni
di questo tipo fa comodo, per saltare qualche passaggio, fare appello
ad altre delle leggi elencate — più semplici, o intuitive o semplicemente già
dimostrate. Più in generale, una volta dimostrate alcune delle suddette leggi
in modo diretto, è possibile derivare le altre in stile algebrico, usando quelle
già dimostrate e le leggi dell’uguaglianza.
7 Si chiama così e si indica anche con {Ai}i∈I un insieme i cui elementi corrispondono
ciascuno ad un elemento di un insieme I, detto insieme degli indici.