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112 CAPITOLO 5. CALCOLO DELLA RISOLUZIONE Le clausole Ci si chiamano centrali e tutte salvo la prima, detta top e appartenente a S, sono risolventi; le clausole Bi sono dette laterali e o appartengono a S oppure sono una delle Cj con j < i. Per queste laterali non è rispettata la condizione che le foglie siano elementi di S, ma la condizione si può ripristinare (distruggendo la linearità) aggiungendo sopra ad esse la derivazione da cui sono dedotte. Alla struttura lineare della derivazione si aggiunge la condizione che le clausole non sono più considerate come insiemi di letterali, cioè a meno di equivalenze logiche; ogni clausola intesa come disgiunzione è considerata diversa dalle clausole equivalenti che si ottengono per permutazioni dei letterali; le clausole sono successioni ordinate di letterali, inclusa eventualmente la successione vuota, sempre indicata con ✷. Si evitano peraltro le ripetizioni di letterali convenendo che quando un letterale occorre più di una volta in una clausola, si cancellando automaticamente tutte le occorrenze salvo la prima (operazione detta anche di merging left). Anche la regola di risoluzione deve essere modificata per adattarsi alla natura ordinata delle clausole, e deve indicare quale letterale scegliere come letterale risolvente e in quale delle due clausole genitrici (che anch’esse sono date in modo ordinato come prima e seconda genitrice). Per comodità di scrittura conveniamo che sia l’ultimo letterale della prima clausola genitrice (ma non cambierebbe nulla con un’altra scelta, ad esempio il primo) nel formulare la Definizione 5.1.7 (Regola di risoluzione ordinata). Se l è l’ultimo letterale di una prima clausola, ed l c occorre in una seconda clausola D1 ∨ l c ∨ D2, dove D1 o D2 possono essere la clausola vuota, a significare che l c può essere in una posizione qualunque, allora C ∨ l D1 ∨ l c ∨ D2 C ∨ D1 ∨ D2 Si noti che se un letterale di una clausola ha il complementare in un’altra, ma non è all’ultimo posto della sua, non può essere il letterale risolto di una risoluzione delle due clausole: ad esempio p ∨ q e ¬p ∨ q non possono essere risolte rispetto a p con una risoluzione ordinata. Una derivazione per risoluzione lineare ordinata di C da S è una derivazione lineare di C da S in cui le clausole sono considerate ordinate e le risoluzioni sono risoluzioni ordinate tra la centrale e la laterale, nell’ordine. Esempio 5.1.8. La derivazione nell’Esempio 5.1.2 a p. 109 è una derivazione lineare ma non lineare ordinata. Essa può essere sostituita, per refutare S = {¬p ∨ q, p, ¬q}, dalla derivazione lineare ordinata:
5.1. RISOLUZIONE 113 ¬p ∨ q ¬q ↘ ↙ ¬p p ↘ ↙ ✷ Esempio 5.1.9. La refutazione dell’Esempio 5.1.3 di S = {p ∨ ¬q ∨ r, ¬p ∨ ¬q, q, ¬q ∨ ¬r} non è lineare. Essa può tuttavia essere sostituita dalla refutazione lineare ordinata: p ∨ ¬q ∨ r ¬q ∨ ¬r ↘ ↙ p ∨ ¬q q ↘ ↙ p ¬p ∨ ¬q ↘ ↙ ¬q q ↘ ↙ ✷ Esempio 5.1.10. Nelle due refutazioni degli esempi precedenti, le clausole laterali sono clausole di S. Nella seguente refutazione lineare ordinata di {p ∨ q, ¬p ∨ q, p ∨ ¬q, ¬p ∨ ¬q} p ∨ q p ∨ ¬q ↘ ↙ p ¬p ∨ q ↘ ↙ q ¬p ∨ ¬q ↘ ↙ ¬p p ↘ ↙ ✷ l’ultima clausola laterale p è una clausola centrale precedente. Non sorprenda il secondo esempio, perché vale la completezza per la risoluzione lineare ordinata. La dimostrazione si svolge come quella per la risoluzione ordinaria, manipolando ed attaccando derivazioni che esistono per ipotesi induttiva per insiemi ridotti; questa volta tuttavia le due derivazioni vanno attaccate in serie per formare un albero lineare, e quindi bisogna poter controllare il top della seconda. Occorre poter affermare cioè che se
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