Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Spat¸ii vectoriale euclidiene 105<br />
Teorema 4.35 Matricea <strong>de</strong> trecere între două baze ortonormate este o matrice uni-<br />
tară.<br />
Demonstrat¸ie. Fie {e1, e2, ..., en} ¸si {e ′ 1 , e′ 2 , ..., e′ n} două baze ortonormate ¸si fie<br />
⎛<br />
α11<br />
⎜ α21<br />
S = ⎜<br />
⎝ · · ·<br />
α12<br />
α22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
α1n<br />
α2n<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ , S∗ ⎛<br />
¯α11<br />
⎜ ¯α12<br />
= ⎜<br />
⎝ · · ·<br />
¯α21<br />
¯α22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
¯αn1<br />
¯αn2<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
αn1 αn2 · · · αnn<br />
matricea <strong>de</strong> trecere între cele două baze si adjuncta ei, adică<br />
e ′ n<br />
j = αijei.<br />
i=1<br />
¯α1n ¯α2n · · · ¯αnn<br />
Avem<br />
δij = 〈e ′ i , e′ j 〉 = 〈 n<br />
k=1 αkiek, n m=1 αmjem〉 = n nm=1 k=1 αki ¯αmj〈ek, em〉<br />
= n nm=1 k=1 αki ¯αmjδkm = n k=1 αki ¯αkj<br />
relat¸ie echivalentă cu S ∗ S = I.<br />
Propozit¸ia 4.36 O aplicat¸ie liniară A : V −→ V este transformare unitară dacă<br />
¸si numai dacă matricea ei în raport cu o bază ortonormată este o matrice unitară.<br />
Demonstrat¸ie. Dacă {e1, e2, ..., en} este o bază ortonormată ¸si Aei = n j=1 ajiej<br />
atunci<br />
〈Aei, Aej〉 = 〈 n k=1 akiek, n m=1 amjem〉<br />
= n nm=1 k=1 akiāmj〈ek, em〉 = n k=1 akiākj = n k=1 a∗ jkaki. Dacă A este transformare unitară atunci<br />
n<br />
a ∗ jkaki = 〈Aei, Aej〉 = 〈ei, ej〉 = δij<br />
k=1<br />
relat¸ie echivalentă cu A∗ A = I. Invers, dacă A∗ A = I atunci<br />
<br />
〈Ax, Ay〉 = A ( <br />
n nj=1 <br />
i=1 xiei) , A yjej = n nj=1 i=1 xi¯yj〈Aei, Aej〉<br />
= n nj=1 i=1 xi¯yjδij = n i=1 xi¯yi = 〈x, y〉.
Change language