Elemente de algebra liniara.pdf

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuatii diferent¸iale liniare 137
Teorema 7.12 Spat¸iul
V = { ϕ : I −→ R | Lϕ = 0 }
al tuturor solut¸iilor ecuat¸iei liniare omogene
este un spat¸iu vectorial de dimensiune n.
Demonstrat¸ie. Dacă ϕ, ψ ∈ V atunci
Ly = 0
L(αϕ + βψ) = αLϕ + βLψ = 0
oricare ar fi α, β ∈ R. Conform teoremei de existent¸ă ¸si unicitate, pentru x0 ∈ I
fixat aplicat¸ia
A : V −→ R n , Aϕ = (ϕ(x0), ϕ ′ (x0), ..., ϕ (n−1) (x0))
este un izomorfism liniar. Rezultă că spat¸iile vectoriale V ¸si R n sunt izomorfe ¸si prin
urmare dim V = dim R n = n.
Observat¸ia 7.5 Rezolvarea ecuat¸iei
Ly = 0
înseamnă determinarea spat¸iului vectorial V = { ϕ : I −→ R | Lϕ = 0 } al tuturor
solut¸iilor, ceea ce se poate realiza indicând o bază {y1, y2, ... , yn}, caz în care
Funct¸iile
V = { c1y1 + c2y2 + · · · + cnyn | c1, c2, ... , cn ∈ R }.
y1, y2, ... , yn : I −→ R
din V formează o bază a lui V dacă sunt liniar independente, adică dacă
α1 y1 + α2 y2 + · · · + αn yn = 0 =⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0.