Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Matrice ¸si <strong>de</strong>terminant¸i 15<br />
Definit¸ia 1.14 Fie matricea pătrată<br />
⎛<br />
a11<br />
⎜ a21<br />
A = ⎜<br />
⎝ · · ·<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
a2n<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟ ∈ Mn×n(K).<br />
⎠<br />
an1 an2 · · · ann<br />
Numărul<br />
<br />
<br />
a11<br />
<br />
a21<br />
<strong>de</strong>t A = <br />
· · ·<br />
<br />
an1<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
an2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
a2n<br />
· · ·<br />
ann<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ε(σ) a1σ(1) a2σ(2) · · · anσ(n) σ∈Sn<br />
se nume¸ste <strong>de</strong>terminantul matricei A.<br />
(1.3)<br />
Observat¸ia 1.6 Din <strong>de</strong>finit¸ia (1.3) rezultă că <strong>de</strong>t A este o sumă <strong>de</strong> produse <strong>de</strong> câte<br />
n elemente ale matricei A, fiecare produs cont¸inând un singur element <strong>de</strong> pe fiecare<br />
linie ¸si un singur element <strong>de</strong> pe fiecare coloană.<br />
Observat¸ia 1.7 Din relat¸ia (1.2) rezultă<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
a21<br />
a12<br />
a22<br />
a13<br />
a23<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= <br />
<br />
<br />
a31 a32 a33<br />
a11 a21 a31<br />
a12 a22 a32<br />
a13 a23 a33<br />
(<strong>de</strong>terminantul unei matrice coinci<strong>de</strong> cu <strong>de</strong>terminantul transpusei). Se poate <strong>de</strong>mon-<br />
stra ca o astfel <strong>de</strong> relat¸ie are loc pentru orice matrice pătrată.<br />
Propozit¸ia 1.15 Dacă A ∈ Mn×n(K) atunci<br />
<strong>de</strong>t A = <strong>de</strong>t t A.<br />
Observat¸ia 1.8 Din (1.2) rezultă relat¸iile<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
a21<br />
a31<br />
a12<br />
a22<br />
a32<br />
a13<br />
a23<br />
a33<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=−<br />
<br />
<br />
<br />
a21<br />
a11<br />
a31<br />
a22<br />
a12<br />
a32<br />
a23<br />
a13<br />
a33<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=−<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
a31<br />
a21<br />
a12<br />
a32<br />
a22<br />
a13<br />
a33<br />
a23<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=−<br />
<br />
<br />
<br />
a31<br />
a21<br />
a11<br />
a32<br />
a22<br />
a12<br />
a33<br />
a23<br />
a13<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(dacă schimbăm între ele două linii semnul <strong>de</strong>terminantului se schimbă)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
a21<br />
a12<br />
a22<br />
a13<br />
a23<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=−<br />
<br />
<br />
<br />
a12<br />
a22<br />
a11<br />
a21<br />
a13<br />
a23<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=−<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
a21<br />
a13<br />
a23<br />
a12<br />
a22<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=−<br />
<br />
<br />
<br />
a31 a32 a33<br />
a32 a31 a33<br />
a31 a33 a32<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a13 a12 a11 <br />
<br />
a23 a22 a21 <br />
<br />
a33 a32 a31
Change language