Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
114 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Definit¸ia 5.7 Prin <strong>de</strong>finit¸ie, matricea unei forme pătratice în raport cu o bază<br />
este matricea formei biliniare simetrice asociate în raport cu acea bază.<br />
Exemplul 5.1 Aplicat¸ia<br />
Q : R 3 −→ R, Q(x1, x2, x3) = x 2 1 + 3x 2 2 + x 2 3 − 2x1x2 − 4x1x3<br />
este o formă pătratică <strong>de</strong>oarece există forma biliniară simetrică<br />
g : R 3 × R 3 −→ R,<br />
g((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = x1 y1 + 3 x2 y2 + x3 y3<br />
astfel încât Q(x1, x2, x3) = g((x1, x2, x3), (x1, x2, x3)).<br />
5.2 Reducere la forma canonică<br />
−x1 y2 − x2 y1 − 2x1 y3 − 2x3 y1<br />
Observat¸ia 5.4 Matricea unei forme pătratice <strong>de</strong>pin<strong>de</strong> <strong>de</strong> baza aleasă. In aplicat¸ii<br />
este avantajoasă utilizarea unei baze în raport cu care expresia în coordonate a<br />
formei pătratice să fie cât mai simplă.<br />
Definit¸ia 5.8 Spunem că forma pătratică Q : V −→ K are în raport cu baza<br />
{e1, e2, ..., en} forma canonică dacă matricea lui Q în raport cu această bază este<br />
o matrice diagonală<br />
⎛<br />
⎜<br />
G = ⎜<br />
⎝<br />
λ1 0 · · · 0<br />
0 λ2 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
0 0 · · · λn<br />
adică, expresia în coordonate a formei Q în raport cu acestă bază este <strong>de</strong> forma<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Q(x) = λ1 x 2 1 + λ2 x 2 2 + · · · + λn x 2 n.<br />
Observat¸ia 5.5 Expresia “forma pătratică Q : V −→ K are în raport cu baza<br />
{e1, e2, ..., en} forma canonică” trebuie înt¸eleasă în sensul “funct¸ia Q : V −→ K are<br />
în raport cu baza {e1, e2, ..., en} expresia cea mai simplă.”
Change language