Elemente de algebra liniara.pdf

166 Elemente de algebră liniară
Teorema 8.16 Mult¸imea matricelor unitare de ordinul n
U(n) = { A ∈ Mn×n(C) | A ∗ A=I }
are o structură de grup în raport cu înmult¸irea matricelor, iar
este un subgrup al lui U(n).
SU(n) = { A ∈ U(n) | det A=1 }
Demonstrat¸ie. a) Produsul a două matrice unitare A ¸si B este o matrice unitară
(AB) ∗ (AB) = B ∗ A ∗ AB = B ∗ B = I
¸si inversa unei matrice unitare A este o matrice unitară
A −1 = A ∗ =⇒ (A −1 ) ∗ = (A ∗ ) ∗ = A = (A −1 ) −1 .
b) Afirmat¸ia rezultă din relat¸iile
det(AB) = detA detB, det(A −1 ) = (detA) −1 .
Definit¸ia 8.17 Prin reprezentare matriceală unitară a grupului G se înt¸elege
un morfism de grupuri
T : G −→ U(n).
Exercit¸iul 8.7 Fie V un spat¸iu vectorial euclidian real. Mult¸imea transformărilor
ortogonale
O(V ) = { A : V −→ V | 〈Ax, Ay〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ V }
este un subgrup al grupului GL(V ) al tuturor automorfismelor lui V .
Definit¸ia 8.18 Prin reprezentare ortogonală a grupului G în spat¸iul vectorial
euclidian real V se înt¸elege un morfism de grupuri
T : G −→ O(V ).