Elemente de algebra liniara.pdf

Spat¸ii vectoriale 47
cu (x, x) ∈ {(α, α) | α ∈ R} ¸si (0, y − x) ∈ {(0, β) | β ∈ R}.
Exercit¸iul 2.25 Să se arate că
În plus
{(α, α) | α ∈ R} ∩ {(0, β) | β ∈ R} = {(0, 0)}.
M3×3(R) = {A ∈ M3×3(R) | A t = A } ⊕ {A ∈ M3×3(R) | A t = −A }
unde A t este transpusa matricei A.
Indicat¸ie. Orice matrice A ∈ M3×3(R) admite reprezentarea
A = 1
2 (A + At ) + 1
2 (A − At )
cu (A + A t ) t = A + A t ¸si (A − A t ) t = −(A − A t ).
Propozit¸ia 2.32 Dacă V ¸si W sunt spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K atunci
considerat împreună cu adunarea
¸si înmult¸irea cu scalari
V × W = { (x, y) | x ∈ V, y ∈ W }
(x, y) + (x ′ , y ′ ) = (x + x ′ , y + y ′ )
α(x, y) = (αx, αy)
este spat¸iu vectorial, notat cu V ⊕ W (numit produsul direct al lui V cu W ) ¸si
dim(V ⊕ W ) = dim V + dim W.
Demonstrat¸ie. Dacă {v1, v2, ..., vn} ¸si {w1, w2, ..., wk} sunt baze în V ¸si W atunci
este bază în V × W.
{ (v1, 0), (v2, 0), ..., (vn, 0), (0, w1), (0, w2), ..., (0, wk) }
Observat¸ia 2.11 Spat¸ile V ¸si W pot fi identificate cu subspat¸iile
{ (x, 0) | x ∈ V }, { (0, y) | y ∈ W }