Elemente de algebra liniara.pdf

Algebre Lie. Reprezentări liniare 191
rezultă că vectorul x2 = A+x1 = (A+) 2 x0 verifică relat¸ia
A3x2 = (λ + 2)x2.
Se poate astfel arăta că tot¸i vectorii din ¸sirul
verifică relat¸ia
x0, x1 = A+x0, x2 = (A+) 2 x0, x3 = (A+) 3 x0, ...
A3xk = (λ + k)xk.
Vectorii nenuli din acest ¸sir sunt vectori proprii ai lui A3 ¸si deoarece corespund la
valori proprii distincte ei sunt liniar independent¸i. Spat¸iul V fiind finit dimensional,
rezultă ca ¸sirul x0, x1, x2, ... poate cont¸ine doar un număr finit de vectori nenuli,
adică există xl = 0 cu xl+1 = A+xl = 0. Alegând v = xl avem A+v = 0. Fie ¸sirul
de vectori
Avem
¸si în general
A3w0 = (λ + l)w0
w0 = v, w1 = A−w0, w2 = (A−) 2 w0, ...
A3w1 = A3(A−w0) = (A3A−)w0 = (A−A3 − A−)w0 = (λ + l − 1)w1
A3w2 = A3(A−w1) = (A3A−)w1 = (A−A3 − A−)w1 = (λ + l − 2)w2
A3wk = (λ + l − k)wk.