Elemente de algebra liniara.pdf

42 Elemente de algebră liniară
Observat¸ia 2.9 Relat¸iile (2.5) se pot scrie comprimat
e ′ n
i = αjiej
j=1
¸si orice vector x ∈ V poate fi dezvoltat în raport cu cele două baze
n
n
x = xjej = x
j=1 i=1
′ ie ′ i.
Propozit¸ia 2.24 In cazul schimbării de bază
e ′ i = n j=1 αjiej
x = n j=1 xjej = n i=1 x ′ ie′ i
⎫
⎬
⎭ =⇒ xj
n
= αjix
i=1
′ i
Demonstrat¸ie. Având în vedere că dezvoltarea în raport cu o bază este unică, din
n
n
xjej = x ′ i e ′ n
i =
n
n
n
αji ej =
j=1
i=1
rezultă că xj = n i=1 αji x ′ i .
2.6 Sume de subspat¸ii
x
i=1
′ i
j=1
j=1
i=1
αji x ′ i
Propozit¸ia 2.25 a) Dacă W ⊆ V este subspat¸iu vectorial atunci dim W ≤ dim V .
b) Dacă W ⊆ V este subspat¸iu vectorial ¸si dim W = dim V atunci W = V .
Demonstrat¸ie. a) Fie {v1, v2, ..., vn} bază în V ¸si {w1, w2, ..., wk} bază în W .
Deoarece {w1, w2, ..., wk} este sistem liniar independent în V ¸si {v1, v2, ..., vn} este
sistem de generatori rezultă că k ≤ n.
b) Orice bază a lui W poate fi extinsă pâna la o bază a lui V . Deoarece dim W =
dim V rezultă că orice bază a lui W este în acela¸si timp bază a lui V.
Propozit¸ia 2.26 Dacă W1 ⊆ V ¸si W2 ⊆ V sunt subspat¸ii vectoriale atunci
este subspat¸iu vectorial al lui V .
W = W1 ∩ W2
ej