You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Forme pătratice 119<br />
¸si că în raport cu astfel <strong>de</strong> bază Q are expresia indicată. Deoarece<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∆j = <br />
<br />
<br />
<br />
g11 g12 · · · g1j<br />
g21 g22 · · · g2j<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
gj1 gj2 · · · gjj<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0<br />
<br />
<br />
<br />
sistemul (5.3) este un sistem Cramer care permite <strong>de</strong>terminarea coeficient¸ilor α1j,<br />
α2j, ... , αjj ai lui e ′ j . In particular,<br />
¸si<br />
αjj = ∆j−1<br />
∆j<br />
g ′ jj = g(e′ j , e′ j ) = g(e′ j , α1ke1 + α2ke2 + · · · + αjjej)<br />
=α1j g(e ′ j , e1)+α2j g(e ′ j , e2)+· · ·+αj−1j g(e ′ j , ej−1)+αjj g(e ′ j , ej)=αjj = ∆j−1<br />
. ∆j<br />
Dacă k < j atunci<br />
g ′ jk = g(e′ j , e′ k ) = g(e′ j , α1ke1 + α2ke2 + · · · + αkkek)<br />
= α1k g(e ′ j , e1) + α2k g(e ′ j , e2) + · · · + αkk g(e ′ j , ek) = 0.<br />
Teorema 5.11 Dacă V este un spat¸iu vectorial euclidian real,<br />
Q : V −→ R<br />
este o formă pătratică a cărei matrice în raport cu o bază ortonormată B este<br />
⎛<br />
⎞<br />
g11 g12 · · · g1n<br />
⎜ g21 g22 · · ·<br />
⎟<br />
g2n ⎟<br />
G = ⎜<br />
⎟<br />
⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠<br />
gn1 gn2 · · · gnn<br />
atunci există o bază ortonormată B ′ în raport cu care Q are forma<br />
Q(x) = λ1 x ′ 2<br />
1 + λ2 x ′ 2<br />
2 + · · · + λn x ′ 2<br />
n<br />
un<strong>de</strong> λ1, λ2, ... , λn sunt valorile proprii ale matricei G.
Change language