Elemente de algebra liniara.pdf

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuatii diferent¸iale liniare 149
Demonstrat¸ie (cazul n = 2.) Avem
w ′ (x) = d
y11(x) y12(x)
dx
y21(x) y22(x) =
y ′ 11 (x) y12(x)
y ′ 21 (x) y22(x)
+
y11(x) y
′ 12 (x)
y21(x) y ′ 22 (x)
a11(x) y11(x)+a12(x) y21(x) y12(x)
=
a21(x) y11(x)+a22(x) y21(x) y22(x) +
y11(x) a11(x) y12(x)+a12(x) y22(x)
y21(x) a21(x) y12(x)+a22(x) y22(x)
= (a11(x) + a22(x)) w(x)
adică w verifică ecuat¸ia diferent¸ială liniară
w ′ = tr A(x) w.
Observat¸ia 7.13 Din relat¸ia (7.13) rezultă că dacă wronskianul se anulează într-un
punct x0 ∈ I atunci el se anulează în toate punctele x ∈ I.
Propozit¸ia 7.30 Solut¸ia generală a sistemului liniar neomogen
Y ′ = A(x) Y + F (x)
se obt¸ine adunând la solut¸ia generală a sistemului liniar omogen asociat
Y ′ = A(x) Y
o solut¸ie particulară ˜ Y a sistemului neomogen.
Demonstrat¸ie. Deoarece ˜ Y ′ = A(x) Y + F (x) obt¸inem
Y ′ = A(x) Y =⇒ (Y + ˜ Y ) ′ = A(x) (Y + ˜ Y ) + F (x)
Y ′ =A(x) Y + F (x) =⇒ (Y − ˜ Y ) ′ = A(x) (Y − ˜ Y ).
Observat¸ia 7.14 Folosind matricea Wronski W asociată unei baze {Y1, Y2, ... , Yn}
a lui V solut¸ia generală
Y = c1 Y1 + c2 Y2 + · · · + cn Yn