Elemente de algebra liniara.pdf

178 Elemente de algebră liniară
b) Dacă V este un spat¸iu vectorial peste K atunci mult¸imea L(V ) a tuturor operato-
rilor liniari A : V −→ V considerată împreună cu adunarea operatorilor, înmult¸irea
cu scalari ¸si compunerea operatorilor este o algebră asociativă peste K.
Definit¸ia 9.2 Fie K unul dintre corpurile R ¸si C. Prin algebră Lie peste corpul
K se înt¸elege o mult¸ime L considerată împreună cu trei operat¸ii
L × L :−→ L : (a, b) ↦→ a + b (adunarea)
K × L :−→ L : (α, a) ↦→ αa (inmultirea cu scalari)
L × L :−→ L : (a, b) ↦→ [a, b] (crosetul)
astfel încât L împreună cu primele două operat¸ii este spat¸iu vectorial ¸si
1) [αa + βb, c] = α[a, c] + β[b, c], ∀a, b, c ∈ L, ∀α, β ∈ K;
2) [a, b] + [b, a] = 0, ∀a, b ∈ L;
3) [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0, ∀a, b, c ∈ A (identitatea Jacobi).
Prin dimensiunea algebrei Lie se înt¸elege dimensiunea spat¸iului vectorial corespunzător.
Observat¸ia 9.1 O algebră Lie L poate fi privită ca un spat¸iu vectorial L pe care
s-a definit o lege de compozit¸ie internă suplimentară
L × L :−→ L : (a, b) ↦→ [a, b]
compatibilă cu structura de spat¸iu vectorial.
Propozit¸ia 9.3 a) Plecând de la orice algebră asociativă A se obt¸ine o structură
de algebră Lie pe A definind cro¸setul prin
[a, b] = ab − ba.
b) Algebra Lie peste K obt¸inută plecând de la Mn×n(K) se notează cu gl(n, K).
c) Algebra Lie peste K obt¸inută plecând de la L(V ) se notează cu gl(V ).
Demonstrat¸ie. Avem
[αa+βb, c] = (αa + βb)c−c(αa + βb)=α(ac − ca)+β(bc − cb) = α[a, c]+β[b, c]
[a, b] = ab − ba = −(ba − ab) = −[b, a]
[[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = [(ab − ba), c] + [(bc − cb), a] + [(ca − ac), b]
=(ab−ba)c−c(ab−ba)+(bc−cb)a−a(bc−cb)+(ca−ac)b−b(ca−ac)=0.