You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
116 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
<strong>de</strong> trecere <strong>de</strong> la B la B ′ . Relat¸iile e ′ j = 3 i=1 αijei ¸si x= 3 i=1 xiei = 3 j=1 x ′ j e′ j conduc<br />
la relat¸ia<br />
3 3<br />
xiei = x<br />
i=1 j=1<br />
′ je ′ 3<br />
j = x<br />
j=1<br />
′ ⎛<br />
3<br />
3 3<br />
j αijei = ⎝ αijx<br />
i=1 i=1 j=1<br />
′ ⎞<br />
⎠<br />
j ei<br />
echivalentă cu ⎧ ⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
x1 = α11 x ′ 1 + α12 x ′ 2 + α13 x ′ 3<br />
x2 = α21 x ′ 1 + α22 x ′ 2 + α23 x ′ 3<br />
x1 = α31 x ′ 1 + α32 x ′ 2 + α33 x ′ 3 .<br />
Numerele αij pot fi imediat i<strong>de</strong>ntificate dacă folosind relat¸iile (5.2) exprimăm x1,<br />
x2, x3 cu ajutorul coordonatelor x ′ 1 , x′ 2 , x′ 3<br />
⎧<br />
⎪⎨ x1 = x ′ 1 + x′ 2 + 3x′ 3<br />
Se obt¸ine<br />
⎪⎩<br />
x2 = x ′ 2 + x′ 3<br />
x3 = x ′ 3<br />
S =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 1 3<br />
0 1 1<br />
0 0 1<br />
ceea ce conduce la B ′ = {e ′ 1 = (1, 0, 0), e′ 2 = (1, 1, 0), e′ 3<br />
această bază Q are forma canonică<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Q(x) = x ′ 2 ′ 2 ′ 2<br />
1 + 2x 2 − 5x 3 .<br />
Exercit¸iul 5.3 Să se reducă la forma canonică forma pătratică<br />
indicând ¸si baza utilizată.<br />
Q : R 3 −→ R, Q(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3<br />
Rezolvare. Efectuăm mai întâi schimbarea <strong>de</strong> coordonate<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
care conduce la<br />
⎪⎩<br />
x1 = x ′ 1 + x′ 2<br />
x2 = x ′ 1 − x′ 2<br />
x3 = x ′ 3<br />
Q(x) = x ′ 2 ′ 2 ′<br />
1 − x 2 + 2x 1x ′ 3<br />
= (3, 1, 1)}. In raport cu
Change language