Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Aplicat¸ii liniare 81<br />
Observat¸ia 3.18 Dacă există o bază în raport cu care matricea lui A este diagonală<br />
⎛<br />
⎜<br />
A = ⎜<br />
⎝<br />
α1<br />
0<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
α2<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
α3<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
0<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
⎞<br />
0<br />
⎟<br />
0<br />
⎟<br />
0 ⎟<br />
· · · ⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 0 · · · αn<br />
atunci rădăcinile polinomului caracteristic<br />
<br />
<br />
α1 − λ<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
P (λ) = 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
· · ·<br />
<br />
0<br />
0<br />
α2 − λ<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
0<br />
α3 − λ<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
0<br />
· · ·<br />
αn − λ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= (α1−λ)(α2−λ) · · · (αn−λ)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
sunt α1, α2, ..., αn, ¸si apart¸in toate lui K (numărul lor, t¸inând seama <strong>de</strong> multiplicităt¸i<br />
este dim V ).<br />
Definit¸ia 3.36 Fie A : V −→ V un operator liniar ¸si λ o valoare proprie a lui<br />
A. Spunem că λ are multiplicitatea algebrică k dacă este rădăcină <strong>de</strong> ordinul<br />
k a polinomului caracteristic. Prin multiplicitate geometrică a lui λ se înt¸elege<br />
dimensiunea subspat¸iului propriu Vλ corespunzător lui λ.<br />
Propozit¸ia 3.37 Dacă v1, v2, ..., vk sunt vectori proprii ai operatorului A : V −→<br />
V corespunzători la valori proprii distincte λ1, λ2, ..., λk<br />
Avi = λivi<br />
atunci {v1, v2, ..., vk} este sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i.<br />
Demonstrat¸ie (cazul n = 3). Din<br />
rezultă<br />
α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0 (3.3)<br />
A(α1v1 + α2v2 + α3v3) = 0
Change language