Elemente de algebra liniara.pdf

More documents

Recommendations

Info

168 Elemente de algebră liniară 8.5 Grupul rotat¸iilor. Reprezentări liniare Propozit¸ia 8.22 Demonstrat¸ie. Avem ¸si SO(2) = cos t − sin t sin t cos t α β γ δ −1 = cos t − sin t sin t cos t cos t sin t − sin t cos t ∈ SO(2) =⇒ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ , t ∈ [0, 2π) cos t − sin t sin t cos t α 2 + γ 2 = 1 β 2 + δ 2 = 1 αβ + γδ = 0 αδ − βγ = 1. . = 1 Din relat¸iile α 2 + γ 2 = 1 ¸si β 2 + δ 2 = 1 rezultă că există t, s ∈ [0, 2π) încât dar αβ + γδ = 0 αδ − βγ = 1. =⇒ α β γ δ = cos t sin s sin t cos s sin(t + s) = 0 cos(t + s) = 1. =⇒ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ s = −t sau s = 2π − t. Exercit¸iul 8.9 Dacă A ∈ SO(3) atunci există t ∈ [0, 2π) ¸si o matrice S ∈ O(3) astfel încât Rezolvare. Fie S −1 AS = A = ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 cos t − sin t 0 sin t cos t a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⎞ ⎞ ⎟ ⎠ . ⎟ ⎠ ∈ SO(3).
Grupuri. Reprezentări liniare 169 Matricea A este matricea în raport cu baza canonică a unei transformări ortogonale A : R3 −→ R3 . Ecuat¸ia caracteristică corespunzătoare este −λ 3 +(a11 + a22 + a33)λ 2 a22 − a32 a23 a33 + a11 a31 a13 a33 + a11 a21 a12 a22 λ − det A=0 Deoarece tA = A−1 , adică ⎛ a11 ⎜ ⎝ a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⎛ ⎜ ⎜ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ = ⎜ ⎝ a22 a32 a23 a33 − − a21 a23 a31 a33 a12 a13 a11 a13 a32 a33 a31 a33 a12 a13 a22 a23 − a21 a22 a31 a32 a11 a13 a21 a23 − a11 a12 a31 a32 a11 a12 a21 a22 ⎞ ⎟ ⎠ ¸si det A = 1 rezultă că λ = 1 este valoare proprie a lui A. Fie e1 un vector propriu corespunzător cu ||e1|| = 1, adică Ae1 = e1. Subspat¸iul vectorilor ortogonali pe e1 este un subspat¸iu invariant V = {x ∈ R 3 | 〈x, e1〉 = 0 } x ∈ V =⇒ 〈Ax, e1〉 = 〈Ax, Ae1〉 = 〈x, e1〉 = 0. Dacă {e2, e3} este o bază ortonormată în V atunci B = {e1, e2, e3} este o bază ortonormată a lui R3 în raport cu care matricea lui A are forma A ′ ⎛ 1 ⎜ = ⎝ 0 0 α 0 β ⎞ ⎟ ⎠ 0 γ δ α unde γ β δ este o matrice ortogonală. Notând cu S matricea de trecere de la baza canonică la baza B avem relat¸ia ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 α 0 β ⎞ ⎟ ⎠ = S 0 γ δ −1 ⎛ ⎜ ⎝ a11 a12 a21 a22 a31 a32 ⎞ ⎟ ⎠ S a13 a23 a33
Page 1:
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ
Page 5 and 6:
Cuprins 1 Matrice ¸si determinant
Page 7 and 8:
Capitolul 1 Matrice ¸si determinan
Page 9 and 10:
Matrice ¸si determinant¸i 11 Demo
Page 11 and 12:
Matrice ¸si determinant¸i 13 Obse
Page 13 and 14:
Matrice ¸si determinant¸i 15 Defi
Page 15 and 16:
Matrice ¸si determinant¸i 17 Prop
Page 17 and 18:
Matrice ¸si determinant¸i 19 (dez
Page 19 and 20:
Matrice ¸si determinant¸i 21 Teor
Page 21 and 22:
Capitolul 2 Spat¸ii vectoriale 2.1
Page 23 and 24:
Spat¸ii vectoriale 25 are o struct
Page 25 and 26:
Spat¸ii vectoriale 27 Exemplul 2.1
Page 27 and 28:
Spat¸ii vectoriale 29 Exercit¸iul
Page 29 and 30:
Spat¸ii vectoriale 31 Exercit¸iul
Page 31 and 32:
Spat¸ii vectoriale 33 adică ceea
Page 33 and 34:
Spat¸ii vectoriale 35 Teorema 2.17
Page 35 and 36:
Spat¸ii vectoriale 37 ¸si înmult
Page 37 and 38:
Spat¸ii vectoriale 39 Dezvoltând
Page 39 and 40:
Spat¸ii vectoriale 41 acestea. Ace
Page 41 and 42:
Spat¸ii vectoriale 43 Demonstrat¸
Page 43 and 44:
Spat¸ii vectoriale 45 ¸si t¸inâ
Page 45 and 46:
Spat¸ii vectoriale 47 cu (x, x)
Page 47 and 48:
Spat¸ii vectoriale 49 Demonstrat¸
Page 49 and 50:
Capitolul 3 Aplicat¸ii liniare 3.1
Page 51 and 52:
Aplicat¸ii liniare 53 Expresia în
Page 53 and 54:
Aplicat¸ii liniare 55 rezultă A(
Page 55 and 56:
Aplicat¸ii liniare 57 conduce la r
Page 57 and 58:
Aplicat¸ii liniare 59 ¸si înmult
Page 59 and 60:
Aplicat¸ii liniare 61 Alegând x =
Page 61 and 62:
Aplicat¸ii liniare 63 Teorema 3.14
Page 63 and 64:
Aplicat¸ii liniare 65 Propozit¸ia
Page 65 and 66:
Aplicat¸ii liniare 67 Exercit¸iul
Page 67 and 68:
Aplicat¸ii liniare 69 Aplicat¸ia
Page 69 and 70:
Aplicat¸ii liniare 71 numită matr
Page 71 and 72:
Aplicat¸ii liniare 73 ¸si A ′
Page 73 and 74:
Aplicat¸ii liniare 75 relat¸ie ca
Page 75 and 76:
Aplicat¸ii liniare 77 Definit¸ia
Page 77 and 78:
Aplicat¸ii liniare 79 a lui R 3 fo
Page 79 and 80:
Aplicat¸ii liniare 81 Observat¸ia
Page 81:
Aplicat¸ii liniare 83 Este suficie
Page 84 and 85:
86 Elemente de algebră liniară c)
Page 86 and 87:
88 Elemente de algebră liniară de
Page 88 and 89:
90 Elemente de algebră liniară Re
Page 90 and 91:
92 Elemente de algebră liniară De
Page 92 and 93:
94 Elemente de algebră liniară Re
Page 94 and 95:
96 Elemente de algebră liniară De
Page 96 and 97:
98 Elemente de algebră liniară Di
Page 98 and 99:
100 Elemente de algebră liniară b
Page 100 and 101:
102 Elemente de algebră liniară f
Page 102 and 103:
104 Elemente de algebră liniară D
Page 104 and 105:
106 Elemente de algebră liniară T
Page 106 and 107:
108 Elemente de algebră liniară S
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
112 Elemente de algebră liniară u
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
116 Elemente de algebră liniară d
Page 116 and 117: 118 Elemente de algebră liniară m
Page 118 and 119: 120 Elemente de algebră liniară D
Page 120 and 121: 122 Elemente de algebră liniară r
Page 122 and 123: 124 Elemente de algebră liniară u
Page 126 and 127: 128 Elemente de algebră liniară a
Page 130 and 131: 132 Elemente de algebră liniară b
Page 134 and 135: 136 Elemente de algebră liniară T
Page 136 and 137: 138 Elemente de algebră liniară P
Page 144 and 145: 146 Elemente de algebră liniară I
Page 150 and 151: 152 Elemente de algebră liniară e
Page 152 and 153: 154 Elemente de algebră liniară S
Page 156 and 157: 158
Page 168 and 169: 170 Elemente de algebră liniară d
Page 170 and 171: 172 Elemente de algebră liniară p
Page 172 and 173: 174 Elemente de algebră liniară c
Page 174 and 175: 176
Page 176 and 177: 178 Elemente de algebră liniară b
Page 182 and 183: 184 Elemente de algebră liniară e
Page 184 and 185: 186 Elemente de algebră liniară c
Page 186 and 187: 188 Elemente de algebră liniară d
Page 188 and 189: 190 Elemente de algebră liniară v
Page 190 and 191: 192 Elemente de algebră liniară L
Page 196 and 197: 198 Elemente de algebră liniară o
Page 198 and 199: 200 Elemente de algebră liniară A
Page 200: 202 Elemente de algebră liniară [
show all

Elemente de algebra liniara.pdf

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?