Elemente de algebra liniara.pdf

More documents

Recommendations

Info

22 Elemente de algebră liniară Exercit¸iul 1.2 Să se verifice prin calcul direct că în cazul a două matrice avem A = a11 a12 a21 a22 , B = det(AB) = detA · detB. b11 b12 b21 b22 Observat¸ia 1.13 Se poate arăta că relat¸ia det(AB) = detA ·detB are loc oricare ar fi matricele A ¸si B de acela¸si ordin. În particular, în cazul unei matrice inversabile det A −1 = 1 det A . Definit¸ia 1.28 Fie K unul dintre corpurile R, C ¸si fie matricea ⎛ a11 ⎜ a21 A = ⎜ ⎝ · · · a12 a22 · · · · · · · · · · · · a1m a2m · · · ⎞ ⎟ ∈ Mn×m(K). ⎠ an1 an2 · · · anm Prin minor de ordin k al lui A se înt¸elege un determinant de forma ai1j1 ai1j2 ai2j1 · · · ai1jk ai2j2 · · · aikj1 · · · · · · · · · ai2jk · · · aikj2 · · · aikjk unde 1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n si 1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ m. Definit¸ia 1.29 Spunem că matricea A ∈ Mn×m(K) are rangul r ¸si scriem rang A = r dacă A are un minor de ordinul r nenul ¸si tot¸i minorii de ordin mai mare sunt nuli. Propozit¸ia 1.30 Matricea A ∈ Mn×m(K) are rangul r dacă are un minor de ordinul r nenul ¸si tot¸i minorii de ordin r + 1 sunt nuli. Demonstrat¸ie. Conform relat¸iei (1.4), orice minor de ordinul r + 2 (sau mai mare) se poate exprima ca o combinat¸ie liniară de minori de ordinul r + 1.
Capitolul 2 Spat¸ii vectoriale 2.1 Definit¸ie ¸si exemple Definit¸ia 2.1 Fie K unul dintre corpurile R sau C. Un spat¸iu vectorial peste K este un triplet (V, +, ·) format dintr-o mult¸ime V ¸si două operat¸ii + : V × V −→ V : (x, y) ↦→ x+y (adunarea) · : K × V −→ V : (α, x) ↦→ αx (inmultirea cu scalari) astfel încât sunt satisfăcute următoarele condit¸ii: 1. (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ V 2. există un element 0 ∈ V astfel încât 0 + x = x + 0 = x, ∀x ∈ V 3. pentru fiecare x ∈ V există −x ∈ V astfel încât x + (−x) = (−x) + x = 0 4. x + y = y + x, ∀x, y ∈ V 5. α(x + y) = αx + αy, ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ V 6. (α + β)x = αx + βx, ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V 7. α(βx) = (αβ)x, ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V 8. 1x = x, x ∈ V 23
Page 1: Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ
Page 5 and 6: Cuprins 1 Matrice ¸si determinant
Page 7 and 8: Capitolul 1 Matrice ¸si determinan
Page 9 and 10: Matrice ¸si determinant¸i 11 Demo
Page 11 and 12: Matrice ¸si determinant¸i 13 Obse
Page 13 and 14: Matrice ¸si determinant¸i 15 Defi
Page 15 and 16: Matrice ¸si determinant¸i 17 Prop
Page 17 and 18: Matrice ¸si determinant¸i 19 (dez
Page 19: Matrice ¸si determinant¸i 21 Teor
Page 23 and 24: Spat¸ii vectoriale 25 are o struct
Page 25 and 26: Spat¸ii vectoriale 27 Exemplul 2.1
Page 27 and 28: Spat¸ii vectoriale 29 Exercit¸iul
Page 29 and 30: Spat¸ii vectoriale 31 Exercit¸iul
Page 31 and 32: Spat¸ii vectoriale 33 adică ceea
Page 33 and 34: Spat¸ii vectoriale 35 Teorema 2.17
Page 35 and 36: Spat¸ii vectoriale 37 ¸si înmult
Page 37 and 38: Spat¸ii vectoriale 39 Dezvoltând
Page 39 and 40: Spat¸ii vectoriale 41 acestea. Ace
Page 41 and 42: Spat¸ii vectoriale 43 Demonstrat¸
Page 43 and 44: Spat¸ii vectoriale 45 ¸si t¸inâ
Page 45 and 46: Spat¸ii vectoriale 47 cu (x, x)
Page 47 and 48: Spat¸ii vectoriale 49 Demonstrat¸
Page 49 and 50: Capitolul 3 Aplicat¸ii liniare 3.1
Page 51 and 52: Aplicat¸ii liniare 53 Expresia în
Page 53 and 54: Aplicat¸ii liniare 55 rezultă A(
Page 55 and 56: Aplicat¸ii liniare 57 conduce la r
Page 57 and 58: Aplicat¸ii liniare 59 ¸si înmult
Page 59 and 60: Aplicat¸ii liniare 61 Alegând x =
Page 61 and 62: Aplicat¸ii liniare 63 Teorema 3.14
Page 63 and 64: Aplicat¸ii liniare 65 Propozit¸ia
Page 65 and 66: Aplicat¸ii liniare 67 Exercit¸iul
Page 67 and 68: Aplicat¸ii liniare 69 Aplicat¸ia
Page 69 and 70: Aplicat¸ii liniare 71 numită matr
Page 71 and 72:
Aplicat¸ii liniare 73 ¸si A ′
Page 73 and 74:
Aplicat¸ii liniare 75 relat¸ie ca
Page 75 and 76:
Aplicat¸ii liniare 77 Definit¸ia
Page 77 and 78:
Aplicat¸ii liniare 79 a lui R 3 fo
Page 79 and 80:
Aplicat¸ii liniare 81 Observat¸ia
Page 81:
Aplicat¸ii liniare 83 Este suficie
Page 84 and 85:
86 Elemente de algebră liniară c)
Page 86 and 87:
88 Elemente de algebră liniară de
Page 88 and 89:
90 Elemente de algebră liniară Re
Page 90 and 91:
92 Elemente de algebră liniară De
Page 92 and 93:
94 Elemente de algebră liniară Re
Page 94 and 95:
96 Elemente de algebră liniară De
Page 96 and 97:
98 Elemente de algebră liniară Di
Page 98 and 99:
100 Elemente de algebră liniară b
Page 100 and 101:
102 Elemente de algebră liniară f
Page 102 and 103:
104 Elemente de algebră liniară D
Page 104 and 105:
106 Elemente de algebră liniară T
Page 106 and 107:
108 Elemente de algebră liniară S
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
112 Elemente de algebră liniară u
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
116 Elemente de algebră liniară d
Page 116 and 117:
118 Elemente de algebră liniară m
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
122 Elemente de algebră liniară r
Page 122 and 123:
124 Elemente de algebră liniară u
Page 124 and 125:
Page 126 and 127:
128 Elemente de algebră liniară a
Page 128 and 129:
Page 130 and 131:
Page 132 and 133:
Page 134 and 135:
Page 136 and 137:
138 Elemente de algebră liniară P
Page 138 and 139:
Page 140 and 141:
Page 142 and 143:
Page 144 and 145:
146 Elemente de algebră liniară I
Page 146 and 147:
Page 148 and 149:
Page 150 and 151:
152 Elemente de algebră liniară e
Page 152 and 153:
154 Elemente de algebră liniară S
Page 154 and 155:
Page 156 and 157:
158
Page 158 and 159:
Page 160 and 161:
Page 162 and 163:
Page 164 and 165:
Page 166 and 167:
168 Elemente de algebră liniară 8
Page 168 and 169:
Page 170 and 171:
172 Elemente de algebră liniară p
Page 172 and 173:
174 Elemente de algebră liniară c
Page 174 and 175:
176
Page 176 and 177:
Page 178 and 179:
Page 180 and 181:
Page 182 and 183:
184 Elemente de algebră liniară e
Page 184 and 185:
186 Elemente de algebră liniară c
Page 186 and 187:
Page 188 and 189:
190 Elemente de algebră liniară v
Page 190 and 191:
192 Elemente de algebră liniară L
Page 192 and 193:
Page 194 and 195:
Page 196 and 197:
198 Elemente de algebră liniară o
Page 198 and 199:
200 Elemente de algebră liniară A
Page 200:
202 Elemente de algebră liniară [
show all

Elemente de algebra liniara.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?