Elemente de algebra liniara.pdf

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuatii diferent¸iale liniare 141
care conduc la
L˜y = a0(x) ˜y (n) + a1(x) ˜y (n−1) + · · · + an−1(x) ˜y ′ + an(x) ˜y
= n k=1 ck(x)
a0(x) y (n)
k +a1(x) y (n−1)
k +· · · + an−1(x) y ′ k +an(x) yk
+f(x)=f(x).
Definit¸ia 7.17 Prin ecuat¸ie diferent¸ială liniară de ordinul n cu coeficient¸i
constant¸i se înt¸elege o ecuat¸ie de forma
a0y (n) + a1y (n−1) + · · · + an−1y ′ + any = f(x) (7.15)
unde a0, a1, ..., an sunt numere reale ¸si f : I −→ R este o funct¸ie continuă definită
pe un interval I ⊆ R.
Observat¸ia 7.7 Ecuat¸ia (7.15) este un caz particular pentru ecuat¸ia (7.11) ¸si anume
cel în care funct¸iile a0(x), a1(x), ... , an(x) sunt funct¸ii constante. Ecuat¸ia (7.15) se
poate scrie sub forma
unde P este polinomul
P (D)y = f
P (r) = a0 r n + a1 r n−1 + · · · + an−1 r + an
numit polinomul caracteristic asociat ecuat¸iei considerate.
Observat¸ia 7.8 Folosind notat¸ia lui Euler
e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ
definim pentru fiecare număr complex r = α + iβ funct¸ia complexă
cu proprietăt¸ile
R −→ C : x ↦→ e rx = e (α+iβ)x = e αx cos(βx) + i e αx sin(βx)
D e (α+iβ)x = (α + iβ) e (α+iβ)x
Re (D e rx ) = D( Re e rx )
Im (D e rx ) = D( Im e rx )
unde Re z ¸si Im z reprezintă partea reală ¸si repectiv imaginară a numărului z.