Elemente de algebra liniara.pdf

146 Elemente de algebră liniară
In urma schimbării de variabilă, ecuat¸ia Euler
devine
a0 x 3 y ′′′ + a1 x 2 y ′′ + a2 x y ′ + a3 y = 0
a0 z ′′′ + (−3a0 + a1)z ′′ + (2a0 − a1 + a2)z ′ + a3z = 0.
Observat¸ia 7.10 Relat¸ia x = e t , echivalentă cu t = ln x, conduce la
Ecuat¸ia Euler se poate scrie
d dt
=
dx dx
d 1
=
dt x
d d
= e−t
dt dt .
n dn
a0 x
dxn + a1
n−1 dn−1
x
dxn−1 + · · · + an−1 x d
+ an
dx
y = 0
¸si formal, schimbarea de variabilă x = e t în ecuat¸ia Euler se poate realiza înlocuind
x cu e t ¸si operatorul de derivare d
dx
2 −t d −t d
e = e
dt dt
d cu e−t
dt . De remarcat că
−t d
e
dt
7.3 Sisteme diferent¸iale liniare
−2t d2 d
= e − e−2t
dt2 dt .
Definit¸ia 7.24 Prin sistem diferent¸ial liniar de ordinul întâi se înt¸elege un
sistem de ecuat¸ii diferent¸iale de forma
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y ′ 1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + · · · + a1n(x)yn + f1(x)
y ′ 2 = a21(x)y1 + a22(x)y2 + · · · + a2n(x)yn + f2(x)
.............................................................
y ′ n = an1(x)y1 + an2(x)y2 + · · · + ann(x)yn + fn(x)
unde x este variabila independentă, y1, y2, ... , yn sunt funct¸iile necunoscute ¸si
aij : I −→ R
fi : I −→ R
unde i, j ∈ {1, 2, ..., n}
sunt funct¸ii continue definite pe un interval I ⊆ R.
(7.16)