Elemente de algebra liniara.pdf

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuatii diferent¸iale liniare 155
este o normă pe Mn×n(K). In particular, o serie de matrice
este convergentă dacă există limita
∞
ak A k
k=0
m
lim ak A
m→∞
k=0
k
adică dacă există B ∈ Mn×n(K) astfel încât
Propozit¸ia 7.34 Dacă seria de puteri
m
lim
ak A
m→∞
k=0
k
− B
∞
ak x k
k=0
= 0.
are raza de convergent¸ă R > 0 ¸si dacă A ∈ Mn×n(K) este astfel încât ||A|| < R
atunci seria de matrice
este convergentă.
∞
ak A k
Demonstrat¸ie. Alegând r astfel încât ||A|| < r < R obt¸inem relat¸ia
k=0
ak
A k
= |ak| A
k
≤ |ak| ||A|| k < |ak| r k .
Seria ∞ k=0 ak r k fiind absolut convergentă, din criteriul comparat¸iei rezultă că seria
∞k=0 ||ak A k || este convergentă, ceea ce implică convergent¸a seriei ∞ k=0 ak A k .
Observat¸ia 7.20 Deoarece seria exponent¸ială
e x =
∞
k=0
x k
k!
x x2
= 1 + + + · · ·
1! 2!