You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
154 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Solut¸ia generală a sistemului este<br />
⎛<br />
⎜<br />
Y (x) = c1 ⎝<br />
4<br />
4<br />
1<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ + c2 ⎝<br />
x<br />
−2x + 1<br />
x − 1<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎠ e −3x ⎜<br />
+ c3 ⎝<br />
1<br />
−2<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ e −3x .<br />
Observat¸ia 7.18 O altă metodă <strong>de</strong> rezolvare a sistemelor liniare omogene cu<br />
coeficient¸i constant¸i, numită metoda eliminării, se bazează pe faptul că fiecare dintre<br />
funct¸iile necunoscute yj verifică o ecuat¸ie diferent¸ială liniară.<br />
Exercit¸iul 7.5 Să se rezolve sistemul<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
y ′ 1<br />
y ′ 2<br />
y ′ 3<br />
= y2<br />
= y3<br />
= y1.<br />
Rezolvare. Funct¸ia necunoscută y1 verifică ecuat¸ia liniară<br />
y ′′′<br />
1 − y1 = 0.<br />
Deoarece P (r) = r 3 − 1 are rădăcinile r1 = 1 ¸si r2,3 = − 1<br />
2<br />
± i<br />
y1(x) = c1 e x 1<br />
−<br />
+ c2 e 2 x √<br />
3<br />
cos<br />
2 x + c3<br />
1<br />
−<br />
e 2 x √<br />
3<br />
sin<br />
2 x.<br />
Prin <strong>de</strong>rivarea lui y1 se obt¸in y2 ¸si y3.<br />
Observat¸ia 7.19 Deoarece izomorfismul <strong>de</strong> spat¸ii vectoriale<br />
Mn×n(K) −→ Kn2 :<br />
an1 an2 · · · ann<br />
√ 3<br />
2<br />
, rezultă că<br />
⎛<br />
⎞<br />
a11 a12 · · · a1n<br />
⎜ a21 a22 · · ·<br />
⎟<br />
a2n ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠ ↦→ (a11, a12, ..., a1n, a21, a22, ..., a2n, ..., an1, an2, ..., ann)<br />
permite i<strong>de</strong>ntificarea spat¸iului vectorial Mn×n(K) cu Kn2, aplicat¸ia<br />
|| · || : Mn×n(K) −→ R,<br />
⎛<br />
<br />
<br />
a11<br />
⎜<br />
⎜<br />
a21<br />
⎜<br />
⎝<br />
· · ·<br />
<br />
<br />
an1<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
an2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
a2n<br />
· · ·<br />
ann<br />
⎞<br />
<br />
<br />
<br />
⎟<br />
<br />
⎟<br />
<br />
⎟<br />
= <br />
⎠<br />
<br />
<br />
n<br />
|aij| 2<br />
i,j=1
Change language