Elemente de algebra liniara.pdf

More documents

Recommendations

Info

40 Elemente de algebră liniară admite solut¸ie dacă ¸si numai dacă ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a11 a12 · · · a1m a11 a12 · · · a1m b1 ⎜ a21 a22 · · · ⎟ ⎜ a2m ⎟ ⎜ a21 a22 · · · ⎟ a2m b2 ⎟ rang ⎜ ⎟ = rang ⎜ ⎟ ⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠ ⎝ · · · · · · · · · · · · · · · ⎠ an1 an2 · · · anm an1 an2 · · · anm bn (rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse). Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezultă din teorema anterioară t¸inând seama de faptul că sistemul considerat se mai poate scrie ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a11 a12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a21 ⎟ ⎜ a22 ⎟ x1 ⎜ ⎟ + x2 ⎜ ⎟ ⎝ · · · ⎠ ⎝ · · · ⎠ an1 Observat¸ia 2.7 Fie ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ an2 ⎛ ⎜ + · · · + xm ⎜ ⎝ a1m a2m · · · anm ⎞ a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1m xm = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2m xm = b2 .................................................... ⎛ ⎟ ⎠ = ⎜ ⎝ an1 x1 + an2 x2 + · · · + anm xm = bn un sistem de ecuat¸ii liniare compatibil (adică, care admite solut¸ie) ¸si fie r rangul matricei sistemului. Schimbând eventual ordinea ecuat¸iilor ¸si indexarea necunoscutelor putem presupune că a11 a12 · · · a1r a21 a22 · · · a2r = 0. · · · · · · · · · · · · ar1 ar2 · · · arr In cazul în care r < n este suficient să luăm în considerare doar primele r ecuat¸ii ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1m xm = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2m xm = b2 .................................................... ar1 x1 + ar2 x2 + · · · + arm xm = br (numite ecuat¸ii principale) deoarece restul de ecuat¸ii vor fi combinat¸ii liniare de b1 b2 · · · bn ⎞ ⎟ ⎠ .
Spat¸ii vectoriale 41 acestea. Acesta poate fi privit ca un sistem Cramer ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1r xr = b1 − a1r+1 xr+1 − · · · − a1m xm a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2r xr = b2 − a2r+1 xr+1 − · · · − a2m xm ............................................................................ ar1 x1 + ar2 x2 + · · · + arr xr = br − arr+1 xr+1 − · · · − arm xm cu necunoscutele x1, x2, ..., xr (numite necunoscute principale) considerând xr+1, ... , xm ca parametri care pot lua valori arbitrare. In cazul in care b1 = b2 = · · · = bn = 0 (sistem omogen), spat¸iul solut¸iilor sistemului este un spat¸iu vectorial de dimensiune m − r. Observat¸ia 2.8 Dacă B = {e1, e2, ..., en}, B ′ = {e ′ 1, e ′ 2, ..., e ′ n} sunt două baze ale lui V atunci fiecare vector e ′ i din baza “nouă” B′ se poate scrie ca o combinat¸ie liniară de vectorii bazei “vechi” B. Definit¸ia 2.23 Fie două baze ale spat¸iului V ¸si fie Matricea B = {e1, e2, ..., en}, B ′ = {e ′ 1, e ′ 2, ..., e ′ n} ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ e ′ 1 = α11e1 + α21e2 + · · · + αn1en e ′ 2 = α12e1 + α22e2 + · · · + αn2en ................................................. e ′ n = α1ne1 + α2ne2 + · · · + αnnen. ⎛ ⎜ S = ⎜ ⎝ α11 α12 ... α1n α21 α22 ... α2n ... ... ... ... αn1 αn2 ... αnn se nume¸ste matricea de trecere de la baza B la baza B ′ . ⎞ ⎟ ⎠ (2.5)
Page 1: Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ
Page 5 and 6: Cuprins 1 Matrice ¸si determinant
Page 7 and 8: Capitolul 1 Matrice ¸si determinan
Page 9 and 10: Matrice ¸si determinant¸i 11 Demo
Page 11 and 12: Matrice ¸si determinant¸i 13 Obse
Page 13 and 14: Matrice ¸si determinant¸i 15 Defi
Page 15 and 16: Matrice ¸si determinant¸i 17 Prop
Page 17 and 18: Matrice ¸si determinant¸i 19 (dez
Page 19 and 20: Matrice ¸si determinant¸i 21 Teor
Page 21 and 22: Capitolul 2 Spat¸ii vectoriale 2.1
Page 23 and 24: Spat¸ii vectoriale 25 are o struct
Page 25 and 26: Spat¸ii vectoriale 27 Exemplul 2.1
Page 27 and 28: Spat¸ii vectoriale 29 Exercit¸iul
Page 29 and 30: Spat¸ii vectoriale 31 Exercit¸iul
Page 31 and 32: Spat¸ii vectoriale 33 adică ceea
Page 33 and 34: Spat¸ii vectoriale 35 Teorema 2.17
Page 35 and 36: Spat¸ii vectoriale 37 ¸si înmult
Page 37: Spat¸ii vectoriale 39 Dezvoltând
Page 41 and 42: Spat¸ii vectoriale 43 Demonstrat¸
Page 43 and 44: Spat¸ii vectoriale 45 ¸si t¸inâ
Page 45 and 46: Spat¸ii vectoriale 47 cu (x, x)
Page 47 and 48: Spat¸ii vectoriale 49 Demonstrat¸
Page 49 and 50: Capitolul 3 Aplicat¸ii liniare 3.1
Page 51 and 52: Aplicat¸ii liniare 53 Expresia în
Page 53 and 54: Aplicat¸ii liniare 55 rezultă A(
Page 55 and 56: Aplicat¸ii liniare 57 conduce la r
Page 57 and 58: Aplicat¸ii liniare 59 ¸si înmult
Page 59 and 60: Aplicat¸ii liniare 61 Alegând x =
Page 61 and 62: Aplicat¸ii liniare 63 Teorema 3.14
Page 63 and 64: Aplicat¸ii liniare 65 Propozit¸ia
Page 65 and 66: Aplicat¸ii liniare 67 Exercit¸iul
Page 67 and 68: Aplicat¸ii liniare 69 Aplicat¸ia
Page 69 and 70: Aplicat¸ii liniare 71 numită matr
Page 71 and 72: Aplicat¸ii liniare 73 ¸si A ′
Page 73 and 74: Aplicat¸ii liniare 75 relat¸ie ca
Page 75 and 76: Aplicat¸ii liniare 77 Definit¸ia
Page 77 and 78: Aplicat¸ii liniare 79 a lui R 3 fo
Page 79 and 80: Aplicat¸ii liniare 81 Observat¸ia
Page 81: Aplicat¸ii liniare 83 Este suficie
Page 84 and 85: 86 Elemente de algebră liniară c)
Page 86 and 87: 88 Elemente de algebră liniară de
Page 88 and 89:
90 Elemente de algebră liniară Re
Page 90 and 91:
92 Elemente de algebră liniară De
Page 92 and 93:
94 Elemente de algebră liniară Re
Page 94 and 95:
96 Elemente de algebră liniară De
Page 96 and 97:
98 Elemente de algebră liniară Di
Page 98 and 99:
100 Elemente de algebră liniară b
Page 100 and 101:
102 Elemente de algebră liniară f
Page 102 and 103:
104 Elemente de algebră liniară D
Page 104 and 105:
106 Elemente de algebră liniară T
Page 106 and 107:
108 Elemente de algebră liniară S
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
112 Elemente de algebră liniară u
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
116 Elemente de algebră liniară d
Page 116 and 117:
118 Elemente de algebră liniară m
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
122 Elemente de algebră liniară r
Page 122 and 123:
124 Elemente de algebră liniară u
Page 124 and 125:
Page 126 and 127:
128 Elemente de algebră liniară a
Page 128 and 129:
Page 130 and 131:
Page 132 and 133:
Page 134 and 135:
Page 136 and 137:
138 Elemente de algebră liniară P
Page 138 and 139:
Page 140 and 141:
Page 142 and 143:
Page 144 and 145:
146 Elemente de algebră liniară I
Page 146 and 147:
Page 148 and 149:
Page 150 and 151:
152 Elemente de algebră liniară e
Page 152 and 153:
154 Elemente de algebră liniară S
Page 154 and 155:
Page 156 and 157:
158
Page 158 and 159:
Page 160 and 161:
Page 162 and 163:
Page 164 and 165:
Page 166 and 167:
168 Elemente de algebră liniară 8
Page 168 and 169:
Page 170 and 171:
172 Elemente de algebră liniară p
Page 172 and 173:
174 Elemente de algebră liniară c
Page 174 and 175:
176
Page 176 and 177:
Page 178 and 179:
Page 180 and 181:
Page 182 and 183:
184 Elemente de algebră liniară e
Page 184 and 185:
186 Elemente de algebră liniară c
Page 186 and 187:
Page 188 and 189:
190 Elemente de algebră liniară v
Page 190 and 191:
192 Elemente de algebră liniară L
Page 192 and 193:
Page 194 and 195:
Page 196 and 197:
198 Elemente de algebră liniară o
Page 198 and 199:
200 Elemente de algebră liniară A
Page 200:
202 Elemente de algebră liniară [
show all

Elemente de algebra liniara.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?