Elemente de algebra liniara.pdf

Aplicat¸ii liniare 63
Teorema 3.14 Cu notat¸iile de mai sus
e ′ i
Demonstrat¸ie. Din relat¸ia
rezultă
¸si t¸inând seama de (3.1)
adică
= αj
i ej
x = x j ej = x ′i e ′ i
ϕ = ϕj e j = ϕ ′ i e′i
⎫
⎪⎬
⎪⎭
=⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x j ej = x ′i e ′ i = x ′i α j
i ej
x j = α j
i x′i
x ′i = β i j xj
e ′i = β i j ej
ϕ ′ i
β k j x j = β k j α j
i x′i = δ k i x ′i = x ′k
x ′k = β k j x j .
= αj
i ϕj
Deoarece x ′k = e ′k (x) ¸si x j = e j (x) relat¸ia anterioară se poate scrie sub forma
sau
e ′k (x) = β k j e j (x)
e ′k (x) = (β k j e j )(x).
Relat¸ia având loc pentru oricare x ∈ V rezultă
Folosind liniaritatea lui ϕ obt¸inem
e ′k = β k j ej.
ϕ ′ i = ϕ(e ′ i) = ϕ(α j
i ej) = α j
i ϕ(ej) = α j
i ϕj.
Observat¸ia 3.3 Coordonatele noi x ′i ale unui vector x ∈ V se exprimă cu ajutorul
coordonatelor vechi x j prin formula x ′i = β i j xj similară cu formula e ′i = β i j ej de
schimbare a bazei duale. Formula ϕ ′ i
= αj i ϕj este similară cu e ′ i = αj i ej.