Elemente de algebra liniara.pdf

Capitolul 9
Algebre Lie. Reprezentări
liniare
9.1 Algebre Lie
Vom prezenta câteva elemente referitoare la algebre Lie ¸si reprezentările lor liniare.
Definit¸ia 9.1 Fie K unul dintre corpurile R ¸si C. Prin algebră asociativă peste
corpul K se înt¸elege o mult¸ime A considerată împreună cu trei operat¸ii
A × A :−→ A : (a, b) ↦→ a + b (adunarea)
K × A :−→ A : (α, a) ↦→ αa (inmultirea cu scalari)
A × A :−→ A : (a, b) ↦→ ab (inmultirea interna)
astfel încât A împreună cu primele două operat¸ii este spat¸iu vectorial ¸si
1) a(b + c) = ab + ac, ∀a, b, c ∈ A;
2) (a + b)c = ac + bc, ∀a, b, c ∈ A;
3) a(bc) = (ab)c, ∀a, b, c ∈ A;
4) α(ab) = (αa)b = a(αb), ∀a, b ∈ A, ∀α ∈ K.
Prin dimensiunea algebrei A se înt¸elege dimensiunea spat¸iului vectorial corespunzător.
Exercit¸iul 9.1 a) Mult¸imea Mn×n(K) a tuturor matricelor pătrate de ordinul n
considerată împreună cu operat¸iile de adunare a matricelor, înmult¸ire cu scalari ¸si
produsul matricelor este o algebră asociativă peste K.
177