Elemente de algebra liniara.pdf

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuatii diferent¸iale liniare 133
Propozit¸ia 7.4 Ecuat¸ia omogenă
y ′ = f
y
x
se reduce la o ecuat¸ie cu variabile separabile dacă se utilizează schimbarea de variabilă
y(x) = x z(x), unde z(x) este noua funct¸ie necunoscută.
Demonstrat¸ie. Derivând y(x) = x z(x) obt¸inem relat¸ia y ′ (x) = z(x) + x z ′ (x) care
ne permite să scriem ecuat¸ia sub forma
z ′ = 1
(f(z) − z).
x
Propozit¸ia 7.5 Ecuat¸ia liniară omogenă
are solut¸ia generală
unde C este o constantă arbitrară.
y ′ = f(x) y
x
f(t)dt
y(x) = C e x0 Demonstrat¸ie. T¸ inând seama de teorema 7.3 rezolvarea ecuat¸iei poate fi prezentată
dupa cum urmează
dy
dx = f(x) y
dy
y
= f(x) dx
y du
y0 u = x
f(t) dt
x0
ln |y| − ln |y0| = x
f(t) dt
x0
x
f(t) dt
y(x) = y0 e x0 .
Propozit¸ia 7.6 Solut¸ia generală a ecuat¸iei liniare neomogene
y ′ = f(x) y + g(x) (7.9)
se obt¸ine adunând solut¸ia generală a ecuat¸iei liniare omogene asociate
cu o solut¸ie particulară ˜y a ecuat¸iei (7.9).
y ′ = f(x) y (7.10)