Elemente de algebra liniara.pdf

Spat¸ii vectoriale 37
¸si înmult¸irea cu numere complexe
(α + βi)(x1, x2) = (αx1 − βx2, αx2 + βx1)
este un spat¸iu vectorial complex notat cu C V (numit complexificatul lui V ) ¸si
dimC C V = dimRV.
Demonstrat¸ie. Fie {v1, v2, ..., vn} o bază a spat¸iului vectorial real V . Arătăm că
B = { (v1, 0), (v2, 0), ... , (vn, 0) }
este bază a spat¸iului vectorial complex C V . Oricare ar fi x1, x2 ∈ V există numerele
reale α1, α2, ... , αn ¸si β1, β2 , ... , βn astfel încât
x1 = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn, x2 = β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn vn.
Deoarece i(vj, 0) = (0, vj) avem
Dacă
atunci
(x1, x2) = (α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn, 0) + (0, β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn vn)
= (α1 + β1i)(v1, 0) + (α2 + β2i)(v2, 0) + · · · + (αn + βni)(vn, 0).
(α1 + β1i)(v1, 0) + (α2 + β2i)(v2, 0) + · · · + (αn + βni)(vn, 0) = (0, 0)
(α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn, β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn vn) = 0
ceea ce conduce la α1 = α2 = · · · = αn = 0 ¸si β1 = β2 = · · · = βn = 0.
Observat¸ia 2.6 Scriind x1 + x2i în loc de (x1, x2) obt¸inem
¸si înmult¸irea cu scalari
C V = { x1 + x2i | x1, x2 ∈ V }
(α + βi)(x1 + x2i) = (αx1 − βx2) + (αx2 + βx1)i
coincide formal cu înmult¸irea uzuală a numerelor complexe.