Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
134 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Demonstrat¸ie. Dacă y verifică (7.10) ¸si ˜y verifică (7.9) atunci<br />
(y+˜y) ′ (x)=f(x) y(x)+f(x) y(x)+g(x)=f(x) (y+˜y)(x)+g(x).<br />
Dacă y ¸si ˜y verifică (7.9) atunci y − ˜y verifică (7.10)<br />
(y−˜y) ′ (x)=f(x) y(x)+g(x)−f(x) ˜y(x)−g(x)=f(x) (y−˜y)(x).<br />
Propozit¸ia 7.7 O solut¸ie particulară ˜y a ecuat¸iei liniare neomogene<br />
y ′ = f(x) y + g(x)<br />
poate fi găsită folosind metoda variat¸iei constantei cautând-o <strong>de</strong> forma<br />
x<br />
f(t)dt<br />
˜y(x) = C(x) e x0 .<br />
Demonstrat¸ie. Inlocuind in ecuat¸ie obt¸inem relat¸ia<br />
care permite <strong>de</strong>terminarea funct¸iei C(x).<br />
Propozit¸ia 7.8 Ecuat¸ia Bernoulli<br />
C ′ (x) = g(x) e − x<br />
x 0 f(t)dt<br />
y ′ = f(x) y + g(x) y α<br />
se reduce la o ecuat¸ie liniară dacă se utilizează schimbarea <strong>de</strong> variabilă z = y 1−α .<br />
Demonstrat¸ie. Dacă α = 1 atunci ecuat¸ia este <strong>de</strong>ja o ecuat¸ie liniară. In cazul α = 1,<br />
împărt¸ind cu y α obt¸inem ecuat¸ia<br />
care se poate scrie<br />
y −α y ′ = f(x) y 1−α + g(x)<br />
1<br />
1 − α (y1−α ) ′ = f(x) y 1−α + g(x).
Change language