Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
74 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Exercit¸iul 3.15 Să se afle valorile proprii ale operatorului<br />
A : R 3 −→ R 3 , A(x1, x2, x3) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2)<br />
¸si să se <strong>de</strong>termine subspat¸iile proprii corespunzătoare.<br />
Rezolvare. Fie λ valoare proprie a lui A. Rezultă că există x = (x1, x2, x3) = (0, 0, 0)<br />
încât<br />
adică<br />
A(x1, x2, x3) = λ(x1, x2, x3)<br />
(x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2) = (λx1, λx2, λx3)<br />
ceea ce este echivalent cu faptul că sistemul omogen<br />
adică<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
x2 + x3 = λx1<br />
x1 + x3 = λx2<br />
x1 + x2 = λx3<br />
−λx1 + x2 + x3 = 0<br />
x1 − λx2 + x3 = 0<br />
x1 + x2 − λx3 = 0<br />
admite ¸si alte solut¸ii în afară <strong>de</strong> (x1, x2, x3) = (0, 0, 0). S¸tim că acest lucru se<br />
întâmplă dacă ¸si numai dacă λ este astfel incât<br />
adică<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
−λ 1 1 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 −λ 1 <br />
= 0 (3.2)<br />
<br />
<br />
1 1 −λ <br />
λ 3 − 3λ − 2 = 0
Change language