Elemente de algebra liniara.pdf

52 Elemente de algebră liniară
Exercit¸iul 3.2 Să se arate că
este aplicat¸ie liniară.
A : R 3 −→ R 2 , A(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3, x1 + x3)
Rezolvare. Fie α, β ∈ K ¸si x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) vectori din R 3 . Avem
A(αx + βy) = A(α(x1, x2, x3) + β(y1, y2, y3))
= A((αx1, αx2, αx3) + (βy1, βy2, βy3))
= A(αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3)
= (αx1 + βy1 + 2(αx2 + βy2) − (αx3 + βy3), αx1 + βy1 + αx3 + βy3)
= (αx1 + 2αx2 − αx3, αx1 + αx3) + (βy1 + 2βy2 − βy3, βy1 + βy3)
= α(x1 + 2x2 − x3, x1 + x3) + β(y1 + 2y2 − y3, y1 + y3)
= αA(x1, x2, x3) + βA(y1, y2, y3) = αAx + βAy.
Exercit¸iul 3.3 Să se arate că
este operator liniar.
A : R 3 −→ R 3 , A(x1, x2, x3) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2)
Exercit¸iul 3.4 Să se arate că rotat¸ia planului de unghi α este un operator liniar.
Indicat¸ie. Identificăm planul cu spat¸iul vectorial R 2 .