Elemente de algebra liniara.pdf

156 Elemente de algebră liniară
are raza de convergent¸ă r = ∞ rezultă că pentru orice matrice A ∈ Mn×n(K) putem
defini matricea
e A =
∞
k=0
A k
k!
A A2
= 1 + + + · · ·
1! 2!
numită exponent¸iala matricei A. Se poate arăta că funct¸ia matriceală
este derivabilă ¸si că (e tA ) ′ = A e tA adică
R −→ Mn×n(K) : t ↦→ e tA
Y (t) = e tA C
este solut¸ie a sistemului liniar Y ′ = AY , oricare ar fi C ∈ R n .
Exercit¸iul 7.6 Să se determine solut¸ia sistemului
Rezolvare. Matricea sistemului
este diagonalizabilă
⎛
Deoarece
obt¸inem
S −1 AS =
⎛
A k ⎜
= S ⎝
⎜
⎝
⎧
⎪⎨
⎪⎩
2 0 0
0 −1 0
0 0 −1
A =
y ′ 1 = y2 + y3
y ′ 2 = y1 + y3
y ′ 3 = y1 + y2.
⎞
⎜
A = S ⎝
2 0 0
0 −1 0
0 0 −1
⎛
⎜
⎝
0 1 1
1 0 1
1 1 0
⎞
⎟
⎠
⎟
⎠ unde S =
⎛
⎞k
⎟
⎠
2 0 0
0 −1 0
0 0 −1
⎛
S −1 ⎜
= S ⎝
⎞
⎟
⎠ S −1
⎛
⎜
⎝
1 1 0
1 0 1
1 −1 −1
2 k 0 0
0 (−1) k 0
0 0 (−1) k
⎞
⎞
⎟
⎠ .
⎟
⎠ S −1