Elemente de algebra liniara.pdf

Aplicat¸ii liniare 65
Propozit¸ia 3.16 (Suma a doi tensori). Dacă A i1i2...ip
¸si Bi1i2...ip sunt coordonatele
j1j2...jq j1j2...jq
a doi tensori A ¸si B de tip (p, q) atunci
T i1i2...ip
= Ai1i2...ip + Bi1i2...ip
j1j2...jq j1j2...jq j1j2...jq
sunt coordonatele unui tensor de tip (p, q) notat cu A + B, adică
Demonstrat¸ie (cazul p = q = 1). Avem
(A + B) i1i2...ip
= Ai1i2...ip + Bi1i2...ip
j1j2...jq j1j2...jq j1j2...jq .
T ′i
j = A ′i
j + B ′i
j = β i k α m j A k m + β i k α m j B k m = β i k α m j (A k m + B k m) = β i k α m j T k m.
Propozit¸ia 3.17 ( Înmult¸irea unui tensor cu un scalar). Dacă λ ∈ K ¸si Ai1i2...ip j1j2...jq
sunt coordonatele unui tensor A de tip (p, q) atunci
T i1i2...ip
= λAi1i2...ip
j1j2...jq j1j2...jq
sunt coordonatele unui tensor de tip (p, q) notat cu λA, adică
Demonstrat¸ie (cazul p = q = 1). Avem
(λA) i1i2...ip
= λAi1i2...ip
j1j2...jq j1j2...jq .
T ′i
j = λA ′i
j = λβ i k α m j A k m = β i k α m j T k m.
Propozit¸ia 3.18 ( Produsul tensorial a doi tensori, într-un caz particular). Dacă
A i jk sunt coordonatele unui tensor A de tip (1, 2) ¸si Bl m sunt coordonatele unui tensor
B de tip (1, 1) atunci
T il
jkm = A i jk · B l m
sunt coordonatele unui tensor de tip (2, 3) notat cu A ⊗ B, adică
Demonstrat¸ie. Avem
(A ⊗ B) il
jkm = A i jk · B l m.
T ′il
jkm = A ′i
jk · B ′l
m = β i a α b j α c k A a bc β l r α s m B r s = β i a β l r α b j α c k α s m T ar
bcs.