Elemente de algebra liniara.pdf

174 Elemente de algebră liniară
cu proprietatea T (g) = T (−g) define¸ste o reprezentare liniară a grupului SO(3).
Exercit¸iul 8.15 Aplicat¸ia SU(2) −→ GL(C2 ) obt¸inută asociind fiecarui element
α β
g =
− ¯
∈ SU(2)
β ¯α
transformarea
g : C 2 −→ C 2 , g(z1, z2) = (αz1 + βz2, − ¯ βz1 + ¯αz2)
este o reprezentare unitară bidimensională a lui SU(2).
Rezolvare. Avem (g1 g2)(z1, z2) = g1 (g2(z1, z2)).
Exercit¸iul 8.16 Aplicat¸ia T : SU(2) −→ GL(F(C 2 , C)) obt¸inută asociind fiecarui
element g ∈ SU(2) transformarea
T (g) : F(C 2 , C) −→ F(C 2 , C), (T (g)f)(z1, z2) = f(g −1 (z1, z2))
este o reprezentare liniară a grupului SU(2) in spat¸iul vectorial complex al tuturor
funct¸iilor f : C 2 −→ C.
b) Pentru orice n ∈ N subspat¸iul vectorial al polinoamelor omogene de grad n
En = f : C 2 −→ C,
n
f(z1, z2) =
k=0
akz k 1 z n−k
2
ak ∈ C
este un subspat¸iu invariant al reprezentării definite la punctul a).
Rezolvare. Inversul elemntului
este
¸si în cazul
g =
g −1 =
α β
− ¯ β ¯α
f(z1, z2) =
¯α −β
¯β α
n
k=0
∈ SU(2)
ak z k 1 z n−k
2