Elemente de algebra liniara.pdf

More documents

Recommendations

Info

170 Elemente de algebră liniară din care rezultă ceea ce arată că α β γ δ încât α β γ δ = 1 ∈ SO(2). Conform exercit¸iului anterior există t ∈ [0, 2π) α β γ δ Observat¸ia 8.7 Matricea ⎛ ⎜ ⎝ = cos t − sin t sin t cos t 1 0 0 0 cos t − sin t 0 sin t cos t este matricea unei rotat¸ii în jurul vectorului e1 (vectorul propriu corespunzător val- orii proprii λ = 1). Grupul SO(3) este grupul rotat¸iilor spat¸iului tridimensional. Exercit¸iul 8.10 Aplicat¸ia SO(3) −→ O(R 3 ) prin care matricei g = ⎛ ⎜ ⎝ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⎞ ⎞ ⎟ ⎠ . ⎟ ⎠ ∈ SO(3) i se asociază transformarea ortogonală g : R 3 −→ R 3 , g(x1, x2, x3) = (a11x1+a12x2+a13x3, a21x1+a22x2+a23x3, a31x1+a32x2+a33x3) este o reprezentare ortogonală a grupului SO(3) în R 3 . Exercit¸iul 8.11 Aplicat¸ia unde T : SO(3) −→ GL(F(R 3 , C)) : g ↦→ T (g) T (g) : F(R 3 , C) −→ F(R 3 , C), (T (g)f)(x) = f(g −1 x) este o reprezentare liniară în spat¸iul vectorial complex F(R 3 , C) al tuturor funct¸iilor f : R 3 −→ C.
Grupuri. Reprezentări liniare 171 Rezolvare. Avem (T (g1g2)f)(x) = f((g1g2) −1 x) = f(g −1 2 g−1 1 x) = f(g −1 2 (g−1 1 −1 x)) = (T (g2)f)(g1 x) = (T (g1)(T (g2)f))(x) = (T (g1)T (g2)f)(x). Exercit¸iul 8.12 Mult¸imea de matrice O(1, 3) = A ∈ GL(4, R) | A I1,3 t A = I1,3 unde ⎛ ⎜ I1,3 = ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 considerată împreună cu înmult¸irea este grup (se nume¸ste grupul Lorentz). Exercit¸iul 8.13 Rezolvare. Avem α β γ δ SU(2)= ∈SU(2) =⇒ α β − ¯ β ¯α ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ⎞ ⎟ ⎠ α, β ∈ C, |α| 2 + |β| 2 = 1 ¯α γ + ¯ β δ = 0 −βγ + αδ = 1 |α| 2 + |β| 2 = 1 =⇒ Observat¸ia 8.8 Grupul SU(2) admite parametrizarea ⎧ ⎛ ⎪⎨ SU(2) = ⎝ ⎪⎩ ei(ϕ+ψ)/2 cos 1 2θ i ei(ϕ−ψ)/2 sin 1 2θ ⎞ ⎠ cu proprietatea ⎛ i e −i(ϕ−ψ)/2 sin 1 2 θ e−i(ϕ+ψ)/2 cos 1 2 θ ⎝ ei(ϕ+ψ)/2 cos 1 2θ i ei(ϕ−ψ)/2 sin 1 2θ i e−i(ϕ−ψ)/2 sin 1 2θ e−i(ϕ+ψ)/2 cos 1 2θ = ⎛ ⎝ eiϕ/2 0 0 e −iϕ/2 ⎞ ⎛ ⎠ ⎝ ⎞ ⎠ 1 1 cos 2θ i sin 2θ i sin 1 1 2θ cos 2θ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ γ = − ¯ β δ = ¯α |α| 2 + |β| 2 = 1. 0 ≤ ϕ < 2π 0 ≤ θ ≤ π −2π ≤ ψ ≤ 2π ⎞ ⎛ ⎠ ⎝ eiψ/2 0 0 e−iψ/2 ⎞ ⎠ ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭
Page 1:
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ
Page 5 and 6:
Cuprins 1 Matrice ¸si determinant
Page 7 and 8:
Capitolul 1 Matrice ¸si determinan
Page 9 and 10:
Matrice ¸si determinant¸i 11 Demo
Page 11 and 12:
Matrice ¸si determinant¸i 13 Obse
Page 13 and 14:
Matrice ¸si determinant¸i 15 Defi
Page 15 and 16:
Matrice ¸si determinant¸i 17 Prop
Page 17 and 18:
Matrice ¸si determinant¸i 19 (dez
Page 19 and 20:
Matrice ¸si determinant¸i 21 Teor
Page 21 and 22:
Capitolul 2 Spat¸ii vectoriale 2.1
Page 23 and 24:
Spat¸ii vectoriale 25 are o struct
Page 25 and 26:
Spat¸ii vectoriale 27 Exemplul 2.1
Page 27 and 28:
Spat¸ii vectoriale 29 Exercit¸iul
Page 29 and 30:
Spat¸ii vectoriale 31 Exercit¸iul
Page 31 and 32:
Spat¸ii vectoriale 33 adică ceea
Page 33 and 34:
Spat¸ii vectoriale 35 Teorema 2.17
Page 35 and 36:
Spat¸ii vectoriale 37 ¸si înmult
Page 37 and 38:
Spat¸ii vectoriale 39 Dezvoltând
Page 39 and 40:
Spat¸ii vectoriale 41 acestea. Ace
Page 41 and 42:
Spat¸ii vectoriale 43 Demonstrat¸
Page 43 and 44:
Spat¸ii vectoriale 45 ¸si t¸inâ
Page 45 and 46:
Spat¸ii vectoriale 47 cu (x, x)
Page 47 and 48:
Spat¸ii vectoriale 49 Demonstrat¸
Page 49 and 50:
Capitolul 3 Aplicat¸ii liniare 3.1
Page 51 and 52:
Aplicat¸ii liniare 53 Expresia în
Page 53 and 54:
Aplicat¸ii liniare 55 rezultă A(
Page 55 and 56:
Aplicat¸ii liniare 57 conduce la r
Page 57 and 58:
Aplicat¸ii liniare 59 ¸si înmult
Page 59 and 60:
Aplicat¸ii liniare 61 Alegând x =
Page 61 and 62:
Aplicat¸ii liniare 63 Teorema 3.14
Page 63 and 64:
Aplicat¸ii liniare 65 Propozit¸ia
Page 65 and 66:
Aplicat¸ii liniare 67 Exercit¸iul
Page 67 and 68:
Aplicat¸ii liniare 69 Aplicat¸ia
Page 69 and 70:
Aplicat¸ii liniare 71 numită matr
Page 71 and 72:
Aplicat¸ii liniare 73 ¸si A ′
Page 73 and 74:
Aplicat¸ii liniare 75 relat¸ie ca
Page 75 and 76:
Aplicat¸ii liniare 77 Definit¸ia
Page 77 and 78:
Aplicat¸ii liniare 79 a lui R 3 fo
Page 79 and 80:
Aplicat¸ii liniare 81 Observat¸ia
Page 81:
Aplicat¸ii liniare 83 Este suficie
Page 84 and 85:
86 Elemente de algebră liniară c)
Page 86 and 87:
88 Elemente de algebră liniară de
Page 88 and 89:
90 Elemente de algebră liniară Re
Page 90 and 91:
92 Elemente de algebră liniară De
Page 92 and 93:
94 Elemente de algebră liniară Re
Page 94 and 95:
96 Elemente de algebră liniară De
Page 96 and 97:
98 Elemente de algebră liniară Di
Page 98 and 99:
100 Elemente de algebră liniară b
Page 100 and 101:
102 Elemente de algebră liniară f
Page 102 and 103:
104 Elemente de algebră liniară D
Page 104 and 105:
106 Elemente de algebră liniară T
Page 106 and 107:
108 Elemente de algebră liniară S
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
112 Elemente de algebră liniară u
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
116 Elemente de algebră liniară d
Page 116 and 117:
118 Elemente de algebră liniară m
Page 118 and 119: 120 Elemente de algebră liniară D
Page 120 and 121: 122 Elemente de algebră liniară r
Page 122 and 123: 124 Elemente de algebră liniară u
Page 126 and 127: 128 Elemente de algebră liniară a
Page 130 and 131: 132 Elemente de algebră liniară b
Page 134 and 135: 136 Elemente de algebră liniară T
Page 136 and 137: 138 Elemente de algebră liniară P
Page 144 and 145: 146 Elemente de algebră liniară I
Page 150 and 151: 152 Elemente de algebră liniară e
Page 152 and 153: 154 Elemente de algebră liniară S
Page 156 and 157: 158
Page 166 and 167: 168 Elemente de algebră liniară 8
Page 170 and 171: 172 Elemente de algebră liniară p
Page 172 and 173: 174 Elemente de algebră liniară c
Page 174 and 175: 176
Page 176 and 177: 178 Elemente de algebră liniară b
Page 182 and 183: 184 Elemente de algebră liniară e
Page 184 and 185: 186 Elemente de algebră liniară c
Page 186 and 187: 188 Elemente de algebră liniară d
Page 188 and 189: 190 Elemente de algebră liniară v
Page 190 and 191: 192 Elemente de algebră liniară L
Page 196 and 197: 198 Elemente de algebră liniară o
Page 198 and 199: 200 Elemente de algebră liniară A
Page 200: 202 Elemente de algebră liniară [
show all

Elemente de algebra liniara.pdf

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?