Elemente de algebra liniara.pdf

54 Elemente de algebră liniară
Demonstrat¸ie. Avem
x, y ∈ KerA
α, β ∈ K
=⇒ A(αx + βy) = αAx + βAy = 0 =⇒ αx + βy ∈ Ker A.
Dacă v, w ∈ Im A atunci există x, y ∈ V încât v = Ax ¸si w = Ay. Oricare ar fi
α, β ∈ K avem
ceea ce arată că αv + βw ∈ Im A.
αv + βw = αAx + βAy = A(αx + βy)
Definit¸ia 3.3 Fie A : V −→ W o aplicat¸ie liniară. Subspat¸iul vectorial
este numit nucleul lui A, iar
imaginea lui A.
Ker A = { x ∈ V | Ax = 0 }
Im A = { Ax | x ∈ V }
Teorema 3.4 Dacă V este un spat¸iu vectorial finit-dimensional ¸si A : V −→ W o
aplicat¸ie liniară atunci
dim V = dim Ker A + dim Im A.
Demonstrat¸ie. Fie B0 = {v1, v2, ..., vk} o bază a subspat¸iului Ker A, unde k =
dim Ker A. Acest sistem de vectori liniar independent¸i îl prelungim până la o bază
a lui V
unde n = dim V. Vom arăta că
este o bază a subspat¸iului Im A.
B = {v1, v2, ..., vk, vk+1, vk+2, ..., vn}
B ′ = {Avk+1, Avk+2, ..., Avn}
B ′ este sistem de vectori liniar independent¸i. Din
αk+1 Avk+1 + αk+2 Avk+2 + · · · + αn Avn = 0