Elemente de algebra liniara.pdf

Algebre Lie. Reprezentări liniare 193
adică
Deoarece n = m + 1, rezultă că
(m + 1)(λ + l) −
λ + l = m
2
¸si notând j = (n − 1)/2 obt¸inem A3v = j v.
Propozit¸ia 9.18 Dacă
m(m + 1)
2
= n − 1
2
ϱ : sl(2, C) −→ gl(V )
= 0.
este reprezentare ireductibilă de dimensiune n=2j+1 si v = 0 este astfel încât
atunci sistemul de vectori
definit prin relat¸iile
vj = v, A−vk =
este o bază a lui V astfel încât
Demonstrat¸ie. Deoarece
A3vk = k vk, A+vk =
A3v = j v, A+v = 0
{ v−j, v−j+1, ... , vj }
j(j + 1) − k(k − 1) vk−1
j(j + 1) − k(k + 1) vk+1.
j(j + 1) − k(k − 1) = 0 =⇒ k = −j sau k = j + 1
rezultă că există constantele nenule c1, c2, ... , c2j astfel încât
vj = w0, vj−1 = c1 w1, vj−2 = c2 w2, ... v−j = c2jw2j
unde {w0, w1, ..., w2j} este baza lui V obtinută în demonstrat¸ia propozit¸iei prece-
dente. Deoarece A3wk = (j − k)wk rezultă că A3vk = k vk. Din relat¸ia
A−vj =
j(j+1) − j(j−1) vj−1 = 2j vj−1