Elemente de algebra liniara.pdf

Algebre Lie. Reprezentări liniare 181
are o structură naturală de algebră Lie reală de dimensiune 6 (numită algebra Lie a
grupului Lorentz).
Rezolvare. a) Avem tr(a + b) = tr a + tr b, tr(αa) = α tr a,
n
tr ab = (ab)
k=1
k n n
k = a
k=1 j=1
k j b j
k =
n n
b
j=1 k=1
j
k ak n
j = (ba)
j=1
j
j = tr ba
¸si prin urmare, tr [a, b]=tr(ab−ba)=0, oricare ar fi a, b∈gl(n, K). O bază a algebrei
Lie sl(n, K) este
b) Dacă α ∈ R ¸si a, b ∈ u(n) atunci
{ e j
k | k = j } ∪ { ek k−e n n | k ∈{1, 2, ..., n−1} }.
t (αa) = ¯α t ā = −(αa),
t (a + b) = t ā + t¯ b = −a − b = −(a + b),
t [a, b] = t (ab − ba) = t¯ b t ā − t ā t¯ b = ba − ab = −[a, b].
O bază a algebrei Lie u(n) este
{ e j
k −ek j | k < j } ∪ { i(e j
k +ek j ) | k < j } ∪ { i e k k | k ∈ {1, 2, ..., n} }.
c) O bază a algebrei Lie su(n) este
{ e j
k −ek j | k < j } ∪ { i(e j
k +ek j ) | k < j } ∪ { i (e k k − e n n) | k ∈ {1, 2, ..., n−1} }.
d) O bază a algebrei Lie o(n) este
e) Se obt¸ine
{ e j
k −ek j | k < j }.
⎧ ⎛
⎞
0 α1 α2 α3
⎪⎨
⎜ α1 0
⎟
α4 α5 ⎟
o(1, 3) = ⎜
⎟
⎝ α2 −α4 0 α6 ⎠
⎪⎩
α3 −α5 −α6 0
⎫
⎪⎬
α1, α2, ... , α6 ∈ R
⎪⎭
O bază a algebrei Lie o(1, 3) este { e 2 1 +e1 2 , e3 1 +e1 3 , e4 1 +e1 4 , e3 1 −e1 3 , e2 4 −e4 2 , e3 4 −e4 3 }.
.