Elemente de algebra liniara.pdf

62 Elemente de algebră liniară
Utilizând un indice inferior si unul superior pentru elementele matricei de trecere de
la baza B la baza B ′ relat¸iile
se scriu comprimat
iar matricea de trecere este
e ′ 1 = α1 1 e1 + α 2 1 e2 + · · · + α n 1 en = α i 1 ei
e ′ 2 = α1 2 e1 + α 2 2 e2 + · · · + α n 2 en = α i 2 ei
.......................................................
e ′ n = α 1 ne1 + α 2 ne2 + · · · + α n nen = α i nei
e ′ i = α j
i ej
⎛
α
⎜
S = ⎜
⎝
1 1 α1 2 · · · α1 α
n
2 1 α2 2 · · · α2 · · · · · · · · ·
n
· · ·
αn 1 αn 2 · · · αn ⎞
⎟ .
⎟
⎠
n
Propozit¸ia 3.13 Matricea S este inversabilă ¸si inversa ei
este matricea de trecere de la B ′ la B.
S −1 ⎛
β
⎜
= ⎜
⎝
1 1 β1 2 · · · β1 β
n
2 1 β2 2 · · · β2 · · · · · · · · ·
n
· · ·
βn 1 βn 2 · · · βn ⎞
⎟
⎠
n
Demonstrat¸ie. Fie ej = βk j e′ k . Din relat¸iile
ej = β k j e ′ k = β k j α i k ei, e ′ i = α j
i ej = α j
i βk j e ′ k
rezultă t¸inând seama de unicitatea reprezentării unui vector în raport cu o bază că
β k j α i k = δ i j, α j
i βk j = δ k i . (3.1)