Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Matrice ¸si <strong>de</strong>terminant¸i 17<br />
Propozit¸ia 1.20 Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt<br />
proport¸ionale atunci <strong>de</strong>terminantul matricei este nul.<br />
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezultă din propozit¸iile 1.18 ¸si 1.19.<br />
Propozit¸ia 1.21 Avem<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
¸si<br />
a11 a12 ... a1n<br />
... ... ... ...<br />
ak1+bk1 ak2+bk2 ... akn+bkn<br />
... ... ... ...<br />
an1 an2 ... ann<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 ... a1n<br />
<br />
a11 a12 ... a1n<br />
<br />
<br />
<br />
... ... ... ... <br />
... ... ... ... <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
ak1 ak2 ... akn +<br />
bk1 bk2 ... bkn <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
... ... ... ... <br />
<br />
... ... ... ... <br />
<br />
an1 an2 ... ann<br />
an1 an2 ... ann<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 ... a1k+b1k ... a1n<br />
<br />
a11 ... a1k ... a1n<br />
<br />
a11 ... b1k ... a1n<br />
<br />
<br />
<br />
a21 ... a2k+b2k ...<br />
<br />
a2n a21 ... a2k ...<br />
<br />
a2n a21 ... b2k ...<br />
<br />
a2n <br />
<br />
=<br />
<br />
+<br />
<br />
.<br />
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
an1 ... ank+bnk ... ann an1 ... ank ... ann an1 ... bnk ... ann <br />
Demonstrat¸ie. Relat¸iile rezultă direct din <strong>de</strong>finit¸ia (1.3).<br />
Propozit¸ia 1.22 Dacă o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice este o combinat¸ie<br />
liniară <strong>de</strong> celelalte linii (respectiv coloane) atunci <strong>de</strong>terminantul matricei este nul.<br />
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezultă din propozit¸iile 1.20 ¸si 1.21.<br />
Propozit¸ia 1.23 Dacă la o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice adunăm el-<br />
ementele unei alte linii (respectiv coloane) înmult¸ite cu acela¸si număr <strong>de</strong>terminantul<br />
matricei rezultate coinci<strong>de</strong> cu <strong>de</strong>terminantul matricei init¸iale.<br />
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezultă din propozit¸iile 1.20 ¸si 1.21.<br />
Observat¸ia 1.10 Relat¸ia (1.2) se poate scrie sub formele<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 a13 <br />
<br />
<br />
a21 a22 a23 <br />
<br />
<br />
a31 a32 a33 <br />
= (−1) 1+1 <br />
<br />
a22 a23 <br />
a11 <br />
a32 a33 <br />
+(−1) 1+2 <br />
<br />
a21 a23 <br />
a12 <br />
a31 a33<br />
+ (−1)1+3 <br />
<br />
<br />
a13 <br />
<br />
<br />
<br />
a21 a22 <br />
<br />
a31 a32
Change language